一、基本描述

類似于回溯法，也是一種在問題的解空間樹T上搜索問題解的算法。但在一般情況下，分支限界法與回溯法的求解目標(biāo)不同。 回溯法 的求解目標(biāo)是找出T中滿足約束條件的 所有解 ，而 分支限界法 的求解目標(biāo)則是找出 滿足約束條件的一個解 ，或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到 極大或極小的解 ，即在某種意義下的 最優(yōu)解 。

（1）分支搜索算法

所謂“分支”就是采用廣度優(yōu)先的策略，依次搜索E-結(jié)點的所有分支，也就是所有相鄰結(jié)點，拋棄不滿足約束條件的結(jié)點，其余結(jié)點加入活結(jié)點表。然后從表中選擇一個結(jié)點作為下一個E-結(jié)點，繼續(xù)搜索。

選擇下一個E-結(jié)點的方式不同，則會有幾種不同的分支搜索方式。

1）FIFO搜索

2）LIFO搜索

3）優(yōu)先隊列式搜索

（2）分支限界搜索算法

二、分支限界法的一般過程

由于求解目標(biāo)不同，導(dǎo)致分支限界法與回溯法在解空間樹T上的搜索方式也不相同。 回溯法以深度優(yōu)先的方式搜索解空間樹T ，而 分支限界法則以廣度優(yōu)先或以最小耗費優(yōu)先的方式搜索解空間樹T 。

分支限界法的 搜索策略是 ：在擴展結(jié)點處，先生成其所有的兒子結(jié)點（分支），然后再從當(dāng)前的活結(jié)點表中選擇下一個擴展對點。為了有效地選擇下一擴展結(jié)點，以加速搜索的進(jìn)程，在每一活結(jié)點處，計算一個函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計算出的函數(shù)值，從當(dāng)前活結(jié)點表中選擇一個最有利的結(jié)點作為擴展結(jié)點，使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進(jìn)，以便盡快地找出一個最優(yōu)解。

分支限界法常以廣度優(yōu)先或以最小耗費（最大效益）優(yōu)先的方式搜索問題的解空間樹。問題的 解空間樹是表示問題解空間的一棵有序樹，常見的有子集樹和排列樹 。在搜索問題的解空間樹時，分支限界法與回溯法對當(dāng)前擴展結(jié)點所使用的擴展方式不同。在分支限界法中，每一個活結(jié)點只有一次機會成為擴展結(jié)點。活結(jié)點一旦成為擴展結(jié)點，就一次性產(chǎn)生其所有兒子結(jié)點。在這些兒子結(jié)點中，那些導(dǎo)致不可行解或?qū)е路亲顑?yōu)解的兒子結(jié)點被舍棄，其余兒子結(jié)點被子加入活結(jié)點表中。此后，從活結(jié)點表中取下一結(jié)點成為當(dāng)前擴展結(jié)點，并重復(fù)上述結(jié)點擴展過程。這個過程一直持續(xù)到找到所求的解或活結(jié)點表為空時為止。

三、回溯法和分支限界法的一些區(qū)別

有一些問題其實無論用回溯法還是分支限界法都可以得到很好的解決，但是另外一些則不然。也許我們需要具體一些的分析——到底何時使用分支限界而何時使用回溯呢？

回溯法和分支限界法的一些區(qū)別：

方法對解空間樹的搜索方式 存儲 結(jié)點的常用數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 結(jié)點 存儲 特性常用應(yīng)用

回溯法深度優(yōu)先搜索堆棧活結(jié)點的所有可行子結(jié)點被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解

分支限界法廣度優(yōu)先或最小消耗優(yōu)先搜索隊列、優(yōu)先隊列每個結(jié)點只有一次成為活結(jié)點的機會找出滿足約束條件的一個解或特定意義下的最優(yōu)解

旅行售貨員問題用回溯法貌似更容易實現(xiàn)一些，網(wǎng)上代碼很多。這里給出用分支限界法的java實現(xiàn)。

四、應(yīng)用示例

問題描述：
某售貨員要到若干城市去推銷商品，已知各城市之間的路程（或旅費）。他要選定一條從駐地出發(fā)，經(jīng)過每個城市一遍，最后回到駐地的路線，使總的路程（或旅費）最小。各個城市之間可能是有向連通的、無向連通的、以及存在某個城市不連通的情況，你的程序應(yīng)該能夠處理所有可能的情況。如下圖表示各個城市間無向連通。










輸入：

第一行為一個整數(shù) n(n<=10) ，表示城市的總個數(shù)。接下來是一個 n*n 的矩陣，用來表示城市間的連通情況以及花費，例如 path[i][j]=len ， len=-1 表示從城市 i 到城市 j 沒有通路， len>0 表示從 i 到 j 的路程長度為 len 。對于上面圖示的問題我們可以 按照下面方式 輸入：

4
-13064
30-1510
65-120
41020-1

輸出：

輸出占一行，對于給定的問題，如果找到了最小路程（花費），輸出該最小花費，如果沒有通路可以到達(dá)每個城市，則輸出 -1 。

輸入樣例：

4
-13064
30-1510
65-120
41020-1

輸出樣例：

25

代碼：

//旅行售貨員問題，用分支限界法實現(xiàn) 2010-10-28

import java.util.Scanner;

public class Main
{

//Main
public static void main(String args[])
{
Scanner s=new Scanner(System.in);
int n=0;//結(jié)點的個數(shù)
String line=s.nextLine();//讀入n
n=Integer.parseInt(line);
a=new float[n][n];
int []vv=new int[n];

for(int i=0;i<n;i++)
{
line=s.nextLine();
String []sArray=line.split(" ");
for(int j=0;j<sArray.length;j++)
{
a[i][j]=Integer.parseInt(sArray[j]);
}
}
System.out.println(bbTsp(vv));
}//Main


static float [][]a;//圖的鄰接矩陣
//static float a[][]={{-1,-1,-1,2},{2,-1,-1,-1},{1,3,-1,-1},{-1,-1,1,-1}};
//static float a[][]={{-1,30,6,4},{30,-1,5,10},{6,5,-1,20},{4,10,20,-1}};
//static float a[][]={{5,5,5,5},{5,5,5,5},{5,5,5,5},{5,5,5,5}};

private static class HeapNode implements Comparable
{
float lcost,//子樹費用下界
cc,//當(dāng)前費用
rcost;//X[s:n-1]中頂點最小出邊費用和
int s;//根節(jié)點到當(dāng)前結(jié)點的路徑為X[0:s]
int []x;//需要進(jìn)一步搜索的結(jié)點是x[s+1:n-1]

//HeapNode的構(gòu)造函數(shù)
HeapNode(float lc,float ccc,float rc,int ss,int []xx)
{
lcost=lc;
cc=ccc;
s=ss;
x=xx;
}//HeapNode 構(gòu)造函數(shù)

public int compareTo(Object x)
{
float xlc=((HeapNode)x).lcost;
if(lcost<xlc)
return -1;
if(lcost==xlc)
return 0;
return 1;
}

}//class HeapNode

public static int bbTsp(int []v)
{
int n=v.length;
MinHeap heap=new MinHeap(100);
float []minOut=new float[n];//minOut[i]是頂點i的最小出邊費用
float minSum=0;//最小出邊費用和

//計算最小出邊費用和
for(int i=0;i<n;i++)
{
float min=Float.MAX_VALUE;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(a[i][j]!=-1&&a[i][j]<min)
min=a[i][j];//有回路
}//for j

if(min==Float.MAX_VALUE)
{
return -1;//無回路
}//if

minOut[i]=min;
minSum+=min;
}//for i

//初始化
int []x=new int[n];
for(int i=0;i<n;i++)
{
x[i]=i;
}
HeapNode enode=new HeapNode(0,0,minSum,0,x);
float bestc=Float.MAX_VALUE;

//搜索排列空間樹
while(enode!=null&&enode.s<n-1)
{
//System.out.println(bestc);
x=enode.x;
if(enode.s==n-2)//葉子結(jié)點
{
if(a[x[n-2]][x[n-1]]!=-1&&
a[x[n-1]][1]!=-1||
bestc==Float.MAX_VALUE)//當(dāng)前最優(yōu)解還不存在的情況
{
bestc=enode.cc+a[x[n-2]][x[n-1]]+a[x[n-1]][0];
enode.cc=bestc;
enode.lcost=bestc;
enode.s++;
heap.put(enode);
}
}//if(enode.s==n-2)

//if(enode.s!=n-2)
else
{
for(int i=enode.s+1;i<n;i++)
{
if(a[x[enode.s]][x[i]]!=-1)
{
float cc=enode.cc+a[x[enode.s]][x[i]];
float rcost=enode.rcost-minOut[x[enode.s]];
float b=cc+rcost;
if(b<bestc)
{
int []xx=new int[n];
for(int j=0;j<n;j++)
xx[j]=x[j];
xx[enode.s+1]=x[i];
xx[i]=x[enode.s+1];
HeapNode node=new HeapNode(b,cc,rcost,enode.s+1,xx);
heap.put(node);
}//if(b<bestc)
}//if 可行兒子結(jié)點
}//for
}//else,if(enode.s!=n-2)

enode=(HeapNode)heap.removeMin();
}//while
for(int i=0;i<n;i++)
v[i]=x[i];
return (int)bestc;
}//Class bbTsp



//構(gòu)造最小堆
public static class MinHeap
{
private HeapNode[] heapArray; // 堆容器
private int maxSize; // 堆的最大大小
private int currentSize=0; // 堆大小

//構(gòu)造函數(shù)
public MinHeap(int _maxSize)
{
maxSize = _maxSize;
heapArray = new HeapNode[maxSize];
currentSize = 0;
}

//自上而下調(diào)整
public void filterDown(int start, int endOfHeap)
{
int i = start;
int j = 2 * i + 1; // j是i的左子女位置
HeapNode temp = heapArray[i];

while (j <= endOfHeap)
{ // 檢查是否到最后位置
if (j < endOfHeap // 讓j指向兩子女中的小者
&& heapArray[j].cc > heapArray[j + 1].cc)
{
j++;
}
if (temp.cc <= heapArray[j].cc)
{ // 小則不做調(diào)整
break;
} else
{ // 否則小者上移，i，j下降
heapArray[i] = heapArray[j];
i = j;
j = 2 * j + 1;
}
}
heapArray[i] = temp;
}//filterDown

//自下而上的調(diào)整:從結(jié)點start開始到0為止，自下向上比較，如果子女的值小于雙親結(jié)點的值則互相交換
public void filterUp(int start)
{
int j = start;
int i = (j - 1) / 2;
HeapNode temp = heapArray[j];

while (j > 0)
{ // 沿雙親結(jié)點路徑向上直達(dá)根節(jié)點
if (heapArray[i].cc <= temp.cc)
{// 雙親結(jié)點值小，不調(diào)整
break;
} else {// 雙親結(jié)點值大，調(diào)整
heapArray[j] = heapArray[i];
j = i;
i = (i - 1) / 2;
}
heapArray[j] = temp; // 回送
}
}//filterUp

//插入結(jié)點
public void put(HeapNode node)
{
HeapNode newNode = node;
heapArray[currentSize] = newNode;
filterUp(currentSize);
currentSize++;

}//put

//刪除堆中的最小值
public HeapNode removeMin()
{
HeapNode root = heapArray[0];
heapArray[0] = heapArray[currentSize - 1];
currentSize--;
filterDown(0, currentSize - 1);
return root;
}
}//class MinHeap
}//class Main

常用算法五（分支限界法）