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在 數理統計學 中， 似然函數 是一種關于 統計模型 中的 參數 的 函數 ，表示模型參數中的 似然性 。

似然函數在 統計推斷 中有重大作用，如在 最大似然估計 和 費雪信息 之中的應用等等。“似然性”與“或然性”或“ 概率 ”意思相近，都是指某種事件發生的可能性，但是在 統計學 中，“似然性”和“或然性”或“概率”又有明確的區分。

概率 用于在已知一些參數的情況下，預測接下來的觀測所得到的結果，而

似然性 則是用于在已知某些觀測所得到的結果時，對有關事物的性質的參數進行估計。

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在這種意義上，似然函數可以理解為 條件概率 的逆反。

在已知某個參數 B 時，事件 A 會發生的概率寫作。

利用 貝葉斯定理 ，

因此，我們可以反過來構造表示似然性的方法：已知有事件 A 發生，運用似然函數，我們估計參數 B 的可能性。

形式上，似然函數也是一種條件概率函數，但我們關注的 變量 改變了：

注意到這里并不要求似然函數滿足歸一性：。一個似然函數乘以一個正的常數之后仍然是似然函數。對所有 α > 0 ，都可以有似然函數：

?

?

例子：

考慮投擲一枚硬幣的實驗。通常來說，已知投出的硬幣正面朝上和反面朝上的概率各自是 p _H = 0.5 ，便可以知道投擲若干次后出現各種結果的可能性。比如說，投兩次都是正面朝上的概率是0.25。用條件概率表示，就是：

其中 H 表示正面朝上。

在統計學中，我們關心的是在已知一系列投擲的結果時，關于硬幣投擲時正面朝上的可能性的信息。我們可以建立一個統計模型：假設硬幣投出時會有 p _H 的概率正面朝上，而有 1 ? p _H 的概率反面朝上。這時，條件概率可以改寫成似然函數：

也就是說，對于取定的似然函數，在觀測到兩次投擲都是正面朝上時， p _H = 0.5 的 似然性 是0.25（這并不表示當觀測到兩次正面朝上時 p _H = 0.5 的 概率 是0.25）。

如果考慮 p _H = 0.6 ，那么似然函數的值也會改變。

注意到似然函數的值變大了。這說明，如果參數 p _H 的取值變成0.6的話，結果觀測到連續兩次正面朝上的概率要比假設 p _H = 0.5 時更大。也就是說，參數 p _H 取成0.6 要比取成0.5 更有說服力，更為“合理”。總之，似然函數的重要性不是它的具體取值，而是當參數變化時函數到底變小還是變大。對同一個似然函數，如果存在一個參數值，使得它的函數值達到最大的話，那么這個值就是最為“合理”的參數值。

在這個例子中，似然函數實際上等于：

， 其中 。

如果取 p _H = 1 ，那么似然函數達到最大值1。也就是說，當連續觀測到兩次正面朝上時，假設硬幣投擲時正面朝上的概率為1是最合理的。

類似地，如果觀測到的是三次投擲硬幣，頭兩次正面朝上，第三次反面朝上，那么似然函數將會是：

， 其中 T 表示反面朝上， 。

這時候，似然函數的最大值將會在的時候取到。也就是說，當觀測到三次投擲中前兩次正面朝上而后一次反面朝上時，估計硬幣投擲時正面朝上的概率是最合理的。

似然函數Concept