引入特征函數是非常自然的事情：

• 在實際應用中，逐個測量事件空間中的各事件發生的概率（或者分布函數）是極端困難的，相反，對大多數分布而言，矩（平均值、方差以及各種高階矩）往往是容易被測量的；
  
• 在問題變得復雜之后，再來計算矩（例如均值、方差等等）的時候，如果我們知道分布函數，那么我們要做的是求和與積分，而如果我們知道特征函數，在計算矩的時候，我們要做的只是微分，而通常，求導會比直接積分更容易，而且可以針對各階矩有更統一的形式。

而因為考慮到這兩個因素，再加上 Fourier 空間跟實空間可以一一對應起來，所以大家就更喜歡特征函數了。

接下來，Laplace 變換行不行？當然也可以，這其實是一碼事。統計物理學家很熟悉的「配分函數」也就是一個特征函數： ，它就對應于態密度 g(E) 的Laplace 變換。對物理學家而言，喜歡用逆溫度（Laplace），或者喜歡用虛時間（Fourier）這其實是一碼事的，如果在這種時候用虛時間來寫，一個好處是顯得高端大氣，另一個好處是可以與路徑積分聯系起來，而且，Laplace 變換用的時候總得要寫「正半軸」之類的東西，寫起來太麻煩。