Representation Data in OpenCascade BRep
摘要Abstract：現在的顯示器大多數是光柵顯示器，即可以看做一個像素的矩陣。在光柵顯示器上顯示的任何圖形，實際上都是一些具有一種或多種顏色的集合。數學上精確表示的圖形在顯示器中只能用逼近的方式顯示出來。本文主要對OpenCascade的BRep文件中用來顯示曲線和曲面的離散數據結構進行說明。?
關鍵字：OpenCascade, BRep, Polygon, Triangulation, Subdivision Curves,?
一、引言 Introduction
光柵圖形顯示器可以看做一個像素矩陣。在光柵顯示器上顯示的任何一種圖形，實際上都是一些具有一種或多種顏色的像素的集合。在數學上，理想的曲線是沒有寬度的，它是由無數個點構成的集合，而當要顯示曲線時，就不能用無數個點在顯示器中顯示，必須對其進行離散化，即細分處理。考慮性能要求，需要用盡可能少的點來顯示曲線。對于曲面也是一樣，雖然已經有曲面的數學解析表示，但是需要在顯示器中顯示時，必須對其離散化，即三角剖分得到的逼近曲面的三角網格。?
在OpenCascade中已經有曲線和曲面的精確的數學解析表達形式的類，如下圖所示：?
Figure 1.1 Parametric geometry curves?
Figure 1.2 Parametric geometry surfaces?
在OpenGL中顯示這些曲線和曲面時，不能直接顯示出由參數方程精確表示的曲線和曲面，必須對曲線和曲面進行細分，即離散化，得到OpenGL顯示用的點和三角網格。?
在OpenCascade中使用類Poly_Polygon3D/Poly_Polygon2D來保存多段線的數據，即可以用來保存逼近顯示由參數方程精確表示的曲線的離散點數據。?
在OpenCascade中使用類Poly_Triangulation來保存網格數據，即用三角網格來逼近表示的曲面，或更通用的一個形狀。?
形狀的離散化由函數BRepMesh::Mesh()來統一處理，處理后就可以得到形狀用來顯示的多段線和三角網格數據。有了這些離散數據，不管是將形狀交給顯示模塊進行顯示，還是將形狀在其他顯示引擎中顯示，就很方便了。?
在OpenCascade的BRep中也保存了形狀的用來顯示用的離散數據，即多段線和三角網格。只有經過BRepMesh::Mesh()離散化之后，形狀才具有這些數據。?
二、細分曲線 Subdivision of Curves
在前面的一篇文章《 在OpenSceneGraph中繪制OpenCascade的曲線 》中對曲線的顯示使用了統一細分處理（uniform subdivision），即將曲線在整個參數區域內均分后得到一些線段來顯示。沒有考慮這樣的問題：在曲線很平的區域內，就會存在冗余的點；在曲線曲度很大的區域內，可能點的數量還不足以顯示出光滑的曲線。自適應細分（Adaptive Subdivision）的方法就是將點放在最需要的地方，其主要目的是可視化曲線時更高效的渲染。通常這種方法主要用于游戲，因為其顯示更高效，性能更好。?
Figure 2.1 Uniform sampling on a curve?
如上圖所示，統一采樣來繪制曲線時，通常會在直線段區域生成很多多余的點，而在曲線區域的點太少，不能表示出光滑的曲線。自適應細分曲線有很多種方法，每種方法都會考慮速度、效率和精度，即如何用最少的點精確地表示出曲線。當你理解這個基本概念后，也可以對其他方法進行研究。?
在OpenCascade中對曲線的細分使用的類是GCPnts_TangentialDeflection，其算法描述如下，感興趣的讀者可以結合源程序對其算法實現進行研究：?
其中各個點的橫坐標對應的參數分別為：?
從上述公式結合向量的數量積公式可以看出，約束條件是兩個向量夾角的余弦值分別小于角度偏差和曲率偏差。算法將產生滿足約束條件的曲線上的最少數量的點。?
細分曲線后的點保存在類Poly_Polygon3D中。在BRep中也保存有多段線數據，如下所示：?
示例：?
BNF定義：?
詳細說明：?
<3D polygon record>定義了空間多段線（3D polyline）L，用來逼近空間參數曲線C。多段線的數據包含節點數m>=2，參數顯示標志位p，逼近偏差（deflection）d>=0，節點Ni（1=<i<=m），參數ui（1=<i<=m）。當參數顯示標志位p＝1時，參數u才會顯示。多段線L通過這些節點，多段線L逼近曲線C的逼近偏差定義如下所示：?
參數ui（1=<i<=m）是曲線C上通過節點Ni的參數值：?
示例數據表示的多段線為：m＝2，參數顯示標志位p＝1，逼近偏差d＝0.1，節點N1＝（1，0，0），N2＝（2，0，0），參數u1＝0，u2＝1。?
三、細分曲面 Subdivision of surfaces
我們知道使用參數方程可以精確表示出三維曲線和曲面，但是參數方程表示的曲線曲面并不能直接交給OpenGL直接顯示出來。為此，圖形學中廣泛使用三角網格來表達三維模型，即用三角形組成的面片列表來近似逼近表示三維模型。?
Figure 3.1 Triangulation of Chinese Dragon?
用三角網格表示的曲面需要解決幾個問題：三角網格的產生、描述、遍歷、簡化和壓縮等。在OpenCascade中三角網格的產生使用算法Delaunay三角剖分算法生成網格數據，網格的描述使用類Poly_Triangulation。BRep文件中也保存三角網格的數據，如下所示：?
示例：?
BNF定義：?
詳細說明：?
<triangulation record>定義了逼近曲面S的三角剖分T（triangulation）。三角剖分的數據包含節點數m>=3，三角形數k>=1，參數顯示標志位p，逼近偏差d>=0，節點Ni（1<=i<=m），參數對ui,vi（1<=i<=m），三角形nj,1，nj,2，nj,3。參數只有當參數顯示標志位p＝1時才顯示。三角剖分逼近曲面的偏差d定義如下所示：?
參數對ui，vi描述了曲面S上過節點Ni的參數：?
三角形nj,1， nj,2， nj,3用來取得三角形的三個頂點值Nnj,1，Nnj,2，Nnj,3，節點遍歷的順序就是Nnj,1，Nnj,2，Nnj,3。從三角剖分T的任意一側遍歷，所有三角形都有相同的方向：順時針或逆時針。?
三角剖分中的三角形數據：?
表示的三角剖分為：m＝4個節點，k＝2個三角形，參數顯示標志位p＝1，逼近偏差d＝0，節點N1（0，0，0），N2（0，0，3），N3（0，2，3），N4（0，2，0），參數值（u1,v1）＝（0，0），（u2,v2）＝（3，0），（u3,v3）＝（3，－2），（u4,v4）＝（0，－2）。從點（1，0，0）（（－1，0，0）），三角形是順時針（逆時針）的。?
四、程序示例 Code Example
通過創建多段線和三角網格數據并將其輸出，可以理解BRep文件中用來顯示的離散的數據結構。程序示例如下所示：
/*
* Copyright (c) 2013 eryar All Rights Reserved.
*
* File : Main.cpp
* Author : eryar@163.com
* Date : 2013-12-12 21:46
* Version : 1.0v
*
* Description : There are two kind of data for shape representation
* of the BRep file of OpenCascade. One is Polyline to
* approximates a 3D curve; the other is triangulations
* to approximates a surface.
*
* KeyWords : OpenCascade, BRep File, Polygon, Triangulation
*
*/
#define
WNT
#include
<TColStd_Array1OfReal.hxx>
#include
<TColgp_Array1OfPnt.hxx>
#include
<TColgp_Array1OfPnt2d.hxx>
#include
<Poly.hxx>
#include
<Poly_Polygon3D.hxx>
#include
<Poly_Array1OfTriangle.hxx>
#include
<Poly_Triangulation.hxx>
#pragma
comment(lib, "TKernel.lib")
#pragma
comment(lib, "TKMath.lib")
int
main(
void
)
{
//
3D Polygons:
//
Polygon3D 1
//
2 1
//
0.1
//
1 0 0 2 0 0
//
0 1
TColStd_Array1OfReal parameters(
1
,
2
);
TColgp_Array1OfPnt nodes(
1
,
2
);
Handle_Poly_Polygon3D polyline;
nodes.SetValue(
1
, gp_Pnt(
1
,
0
,
0
));
nodes.SetValue(
2
, gp_Pnt(
2
,
0
,
0
));
parameters.SetValue(
1
,
0.0
);
parameters.SetValue(
2
,
1.0
);
polyline
=
new
Poly_Polygon3D(nodes, parameters);
polyline
->Deflection(
0.1
);
Poly::Write(polyline, std::cout);
Poly::Write(polyline, std::cout,
false
);
//
Triangulations.
//
4 2 1 0
//
0 0 0 0 0 3 0 2 3 0 2 0 0 0 3 0 3 -2 0 -2 2 4 3 2 1 4
Standard_Integer nodeCount =
4
;
Standard_Integer triangleCount
=
2
;
Standard_Real deflection
=
0.0
;
Standard_Boolean hasUV
=
Standard_True;
TColgp_Array1OfPnt triNodes(
1
, nodeCount);
TColgp_Array1OfPnt2d UVNodes(
1
, nodeCount);
Poly_Array1OfTriangle triangles(
1
, triangleCount);
Handle_Poly_Triangulation triangulation;
triNodes(
1
).SetCoord(
0
,
0
,
0
);
triNodes(
2
).SetCoord(
0
,
0
,
3
);
triNodes(
3
).SetCoord(
0
,
2
,
3
);
triNodes(
4
).SetCoord(
0
,
2
,
0
);
UVNodes(
1
).SetCoord(
0.0
,
0.0
);
UVNodes(
2
).SetCoord(
3.0
,
0.0
);
UVNodes(
3
).SetCoord(
3.0
, -
2.0
);
UVNodes(
4
).SetCoord(
0.0
, -
2.0
);
triangles(
1
).Set(
2
,
4
,
3
);
triangles(
2
).Set(
2
,
1
,
4
);
triangulation
=
new
Poly_Triangulation(triNodes, UVNodes, triangles);
triangulation
->
Deflection(deflection);
Poly::Write(triangulation, std::cout);
Poly::Write(triangulation, std::cout,
false
);
return
0
;
}
輸出結果如下所示：?
?
Poly_Polygon3D
2
1
0.1
1
0
0
2
0
0
0
1
Poly_Polygon3D
2
Nodes
with parameters
Deflection :
0.1
Nodes :
1
:
1
0
0
2
:
2
0
0
Parameters :
0
1
Poly_Triangulation
4
2
1
0
0
0
0
0
0
3
0
2
3
0
2
0
0
0
3
0
3
-
2
0
-
2
2
4
3
2
1
4
Poly_Triangulation
4
Nodes
2
Triangles
with UV nodes
Deflection :
0
3D Nodes :
1
:
0
0
0
2
:
0
0
3
3
:
0
2
3
4
:
0
2
0
UV Nodes :
1
:
0
0
2
:
3
0
3
:
3
-
2
4
:
0
-
2
Triangles :
1
:
2
4
3
2
:
2
1
4
Press any key to
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. . .
?
五、結論
通過對OpenCascade中BRep文件中的離散數據的學習，理解顯示用數據結構及其實現。另外發現在類Poly和類BRepTools_ShapeSet中都有對多段線和三角網格進行讀寫的函數，有重復代碼，可以合并簡化。?
?
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