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作者：fasiondog

參考： 王東生、曹磊編著，《混沌、分形及其應用》，中國科學技術大學出版社， 1995 年

混沌（ chaos ）是現代科學的重要概念，是非線性科學的一個非常重要的內容。十九世紀末和二十世紀初，龐加萊和李雅譜諾夫等人的研究，奠定了混沌學的科學基礎，并激發了人們進一步探索有關的問題。混沌作為一門新興的科學，是人類在認識大自然中的不規則性方面的一個舉足重輕的突破。它已滲透到全部科學之中，其對全部科學的影響（包括自然科學及社會科學乃至哲學）所起的作用相當于微積分在十九世紀對數理工程科學的影響。人們認為，“二十世紀科學將永遠銘記的只有三件事，那就是相對論、量子力學和混沌”。 相對論消除了關于絕對空間與時間的幻象；量子力學消除了關于可控測量過程的牛頓式的夢；而混沌則消除了拉普拉斯關于決定論式的可預測性的幻想。

混沌現象簡介

“混沌”是近代非常引人注目的熱點研究，它掀起了繼相對論和量子力學以來基礎科學的第三次革命。科學中的混沌概念不同于古典哲學和日常語言中的理解，簡單地說，混沌是一種確定系統中出現的無規則的運動。混沌理論所研究的是非線性動力學混沌，目的是要揭示貌似隨機的現象背后可能隱藏的簡單規律，以求發現一大類復雜問題普遍遵循的共同規律。

1963 年， Lorenz 在《大氣科學》雜志上發表了“決定性的非周期流”一文，指出在氣候不能精確重演與長期天氣預報者無能為力之間必然存在著一種聯系，這就是非周期與不可預見性之間的聯系。他還發現了混沌現象“對初始條件的極端敏感性” 。這可以生動的用“蝴蝶效應”來比喻：在做氣象預報時，只要一只蝴蝶扇一下翅膀，這一擾動，就會在很遠的另一個地方造成非常大的差異，將使長時間的預測無法進行。

在 60 年代研究的基礎上，混沌學的研究開始進入高潮。 1971 年，科學家在耗散系統中正式的引入了奇異吸引子的概念（如 Henon 吸引子 [ 見圖（ 1-1 ） ] 、 Lorenz 吸引子 [ 見圖（ 2-2 ） ] 。 1975 年， J.York 和 T.Y lie 提出了混沌的科學概念。整個 70 年代中期，人們不但在理論上對混沌做更深層次的研究，而且努力在實驗室中找尋奇異吸引子。 J.York 在他的著名論文“周期 3 意味著混沌”中，指出：在任何一維系統中，只要出現周期 3 ，則該系統也能出現其他長度的周期，也能呈現完全的混沌。

??? 在確定性的系統中發現混沌，改變了人們過去一直認為宇宙是一個可以預測的系統的看法。用決定論的方程，找不到穩定的模式，得到的卻是隨機的結果，徹底打破了拉普拉斯決定論式的可預測性的幻想。但人們同時發現到過去許多曾被認為是噪聲的信號，其實是一些簡單的規則生成的。這些包含內在規則的“噪聲”不同于真正的噪聲，它們的這種規則是完全可以應用的。

對于什么是混沌，目前科學上還沒有確切的定義，但隨著研究的深入，混沌的一系列特點和本質的被揭示，對混沌完整的、具有實質性意義的確切定義將會產生。目前人們把混沌看成是一種無周期的有序。它包括如下特征：

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1． 混沌具有內在的確定性，它雖然貌似噪聲，但不同于噪聲，系統是由完全確定的方程描述的，無需附加任何隨機因數，但系統仍會表現出類似隨機性的行為；

2． 混沌具有分形的性質，前面提到的 lorenz 吸引子， Henon 吸引子都具有分形的結構；

3． 混沌具有標度不變性，是一種無周期的有序。在由分岔導致混沌的過程中，還遵從 Feigenbaum 常數系。

4． 混沌現象還具有對初始條件的敏感依賴性。只要初始條件稍有偏差或微小的擾動，則會使得系統的最終狀態出現巨大的差異。因此混沌系統的長期演化行為是不可預測的。

檢測實際系統中存在混沌現象的意義

傳統上，人們把信號分為兩大類：

l ??????? 確定性信號 ??? 這種信號所有時刻的波形都是確定的；

l ??????? 隨機過程 ????? 它的波形由概率分布確定。

然而，這樣的分類忽略了另一類極為重要的信號——混沌信號。混沌信號的波形是非常不規則的，表面上看來就象噪聲，但實際上它卻是由確定性的規則所產生的，這種規則有時是很簡單的。正是這種簡單的規則產生出復雜的波形激發了人們對它極大的興趣。在圖（ 1-2 ）中，我們向大家展示了由 Logistic 映射所生成的混沌信號與白噪聲信號，從表面上我們是無法判斷出噪聲與混沌的。讓人興奮的是：實踐證明，在大量的物理系統和自然系統中都存在著混沌信號！雖然，混沌現象的出現使我們無法對系統的長期行為進行預測，但是我們完全可以利用混沌的規律對系統進行短期的行為預測，這樣比傳統的統計學方法更加有效。

? 混沌學在工程中的應用可以分為兩大類：

（1） 合成混沌信號： ? 生成類似噪聲的混沌信號

（2） 分析混沌信號： ? 從某種現象中檢測混沌信號是否存在。

??? 在本文中，我們將主要討論第二個話題。檢測到混沌現象的存在，對我們更深刻的認識系統的特征是極為有利的。在大多數情況下，當我們確認系統中存在混沌時，我們可以利用混沌學的原理，將混沌信號從有用的信號中濾除，從而達到改善信噪比的結果，而這用傳統的濾波方法有時或許是無效的。

檢測混沌現象的幾種方法

天然存在的系統（物理系統、化學系統或生物系統）能呈現混沌，這一點目前已得到普遍共識，并引起了許多學者在實驗室里或在自然狀況下對混沌識別進行嘗試。然而在實驗系統里，噪聲會與決定系統演化的內在方程所支配的動力學特性發生相互作用，故實驗系統肯定會有隨機輸入，從而給混沌的識別帶來了許多困難。下面我們簡要的介紹現今用來識別混沌的幾種不同的方法。

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功率譜

最為人們所熟識且應用最多的一種表征復雜時間序列特性的統計量是功率譜（ power spectrum ），它把復雜的時間序列分解成不同頻率的正弦振蕩的疊加。在給定頻率處的功率譜值與頻率的正弦波系數的平方成正比。典型的功率譜由一個或多個尖峰，它們對應于信號中出現的主要頻率。除這些主峰外，其他頻率也可能出現，不過幅度較低，而且功率譜通常分布在一個寬頻帶上。

寬頻帶功率譜（多半具有疊加尖峰）往往與混沌動態相聯系。但不幸的是，“噪聲”也與寬帶譜密切相關，因而出現寬帶譜并不足以確認與噪聲相對的混沌。

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相空間重構

混沌的產生是系統整體穩定性和局部不穩定性共同作用的結果，局部的不穩定性使它具有對初值的敏感性，而整體的穩定性則使它在相空間（又稱狀態空間）表現出一定的分形結構，這種結構被稱為混沌吸引子。正是這種精密的吸引子結構，使我們可以利用它來達到分辨噪聲與混沌的目的，因為真正的噪聲在相空間中仍然表現出一團糟的情況。相空間重構技術是一種簡單而實用的技術，但它依然有著極大的局限性。這是因為使用相空間技術來觀察吸引子的結構，依靠的是人眼的辨別，當吸引子的維數高于三維時，我們將束手無策。另外，并非所有的混沌現象都存在著混沌吸引子（如 Logist 映射）。

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李雅譜諾夫指數和維數

有關非線性動力學的研究工作已提出了一些定量刻劃復雜動力學性態的量度。其中兩個最常用的量是李雅譜諾夫指數（ Lyapunov Exponent ）和維數（ Dimension ），它們分別量度動力學性態的規則性程度和幾何結構。李雅譜諾夫指數描述了系統軌跡收斂或發散的比率，當一個系統中同時存在正的和負的李雅譜諾夫指數時，便意味著混沌的存在。事實上李雅譜諾夫指數的重要作用之一就是判斷系統的混沌行為。我們這里的維數是指的混沌吸引子所具有的分數維維數。在相空間中維數反映描述了在相空間中運動所需要的不多不少的變量個數，而在吸引子中維數則說明了刻畫該吸引子所必需的信息量。

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