Surface Normal Vector in OpenCascade
摘要Abstract：表面上某一點的法向量（Normal Vector）指的是在該點處與表面垂直的方向。對于平面，其上各點的法向是一樣的，統(tǒng)一為這個平面的法向。對于曲面，各點具有不同的法向量。幾何對象的法向量定義了它在空間中的方向，法向量是在進行光照處理時的重要參數(shù)。所以在顯示造型算法離散曲面后的網(wǎng)格時，設(shè)置正確的法向量對場景的光照、光線追蹤效果有直接影響。本文結(jié)合OpenCascade中代碼，對其法向量的計算方法進行分析，稍加修改即可用到實際的程序中。?
關(guān)鍵字Key Words：OpenCascade, Normal Vector, Mesh Normal, OpenSceneGraph,??
一、引言 Introduction
表面上某一點的法向量（Normal Vector）指的是在該點處與表面垂直的方向。對于平面，其上各點的法向是一樣的，統(tǒng)一為這個平面的法向。對于曲面，因為它在計算機圖形中是由許多片小平面的多邊形逼近來表示的，所以每個頂點的法向量都不一樣。因此，曲面上每個點的法向量計算就可以根據(jù)不同的應(yīng)用有不同的算法，則最后的顯示效果也是不同的。幾何對象的法向量定義了它在空間中的方向，法向量是在進行光照處理時的重要參數(shù)。因為法向量決定了該如何計算光照，決定了該點能夠吸收多少光照。?
OpenGL有很大的靈活性，它只提供賦予當前頂點法向量的函數(shù)，并不在內(nèi)部具體計算其法向量，這個值由編程者自己根據(jù)需要設(shè)置。盡管法向量并不需要指定為單位向量，但是如果所有表面法向量都使用單位法向量可減少計算量。使用下列命令可自動將所有非單位法向量單位化：glEnable(GL_NORMALIZE)，該命令也會對那些經(jīng)過縮放或錯切等幾何變換的表面向量進行規(guī)范化。另一可用選項是指定一個法向量列表，與頂點數(shù)組混合使用。?
在很多應(yīng)用程序中網(wǎng)格上的各頂點都需要一個表面法向量，它的用途很廣泛：?
l 計算光照；?
l 背面剔除；?
l 模擬粒子系統(tǒng)在表面的“彈跳”效果；?
l 對只需要正面而加速碰撞檢測；?
通常我們在繪制幾何體時都會指定法向量。當?shù)玫揭粋€模型本身沒有法向量時，則有必要通過現(xiàn)有的數(shù)據(jù)生成。通常表面法向量可能保存于三角形級或頂點級，其中的一個技巧就是平均相鄰三角形的表面法向量，并將結(jié)果規(guī)范化。一般可以這樣假設(shè)三角形的頂點按逆時針排列，通過叉乘就可以得到外表面的法向量了。當然有些有情況下，頂點的順序是未知且比較混亂的，這樣就比較麻煩了。這個筆者也沒有仔細深入研究，推薦讀者看一下《計算非固定結(jié)構(gòu)序列的多邊形的頂點法線》這篇論文。通過平均三角形法向量求得頂點法向量是一種經(jīng)驗性的方法，不具有通用性，雖然很多情況下可以正確地工作，但有些情況下還是無法正常使用的。（以上內(nèi)容摘自《OpenSceneGraph三維渲染引擎編程指南》）?
二、計算法向量 Finding Surface Normal Vectors
OpenGL并不能自動計算幾何對象的法向量，而只能由用戶顯式指定。法向量的計算是一個純粹的幾何和數(shù)學(xué)問題，這里只簡略地區(qū)分了幾種情況。?
2.1 計算平面的法向量
首先，講述平面法向量的計算方法。在平面內(nèi)，有兩條相交的線段，假設(shè)其中一條為矢量W，另一條為矢量V，且平面法向量為N。如圖2.1所示，則平面法向量就等于兩個矢量的叉積（遵循右手法則），即N＝W x V。?
Figure 2.1 Normal Vector of Plane?
比如計算一個三角形的法向就可以用它的三個頂點來計算，如圖2.2所示：?
Figure 2.2 Finding the normal vector of a triangle?
2.2 計算解析曲面的法向量
解析曲面是由數(shù)學(xué)方程描述的平滑的、可微曲面。在OpenCascade中曲面是由Geom_Surface來用參數(shù)u, v來表示的，相當于曲面的數(shù)學(xué)方程，是曲面的精確表示。通過計算曲面上一點u，v對應(yīng)的一次微分即可得到曲面在該點處的切線，如下圖所示：?
Figure 2.3 Tangents on a surface?
關(guān)于參數(shù)u，v表示的Bezier曲面的微分計算方法如下所示：?
若需要計算參數(shù)對應(yīng)點處的法向量，還需要對這兩個切向量進行叉乘即可，計算方法如下所示：?
Figure 2.4 Normal on a surface?
2.3 計算多邊形的法向量
在OpenGL中，這種情況占了大多數(shù)。求平均多邊形的法向量，利用不在同一直線上的多邊形三個頂點v1, v2, v3，則兩個矢量的叉積（（v2 - v1）x（v3 - v1））垂直于多邊形，即為該多邊形的法向量，計算后需要經(jīng)過規(guī)范化處理。?
對于求多邊形網(wǎng)格上各頂點上的法向量，由于每個頂點同時位于幾個不同的多邊形邊界上，則需要求出周圍幾個多邊形的法向量，然后做加權(quán)平均。一般來說，可以使用每個多邊形的面積做為加權(quán)的權(quán)值。?
如下圖所示，曲面頂點P的法向就等于其相鄰的四個平面的法向平均值：?
Figure 2. 曲面頂點的平均法向計算?
注：當計算多邊形網(wǎng)格表示的曲面時，最好是使用平均法向的方法來計算。當曲面是用參數(shù)方程來表示時，就可以用求微分和叉乘的方法來直接計算法向量，不再需要使用平均法向了。?
三、程序?qū)崿F(xiàn) Demo Code
3.1 OpenCascade中曲面法向量的計算 Compute normal in OpenCascade
在OpenCascade中將形狀數(shù)據(jù)保存為STL格式時就涉及到了將形狀三角剖分及其法向量的計算實現(xiàn)。其計算方法如上所述，也是分成三種方式：?
l 參數(shù)方程表示的曲面；?
l 平面；?
l 網(wǎng)格；?
將其代碼列出如下：?
//
function computes normals for surface
static
void
Normal(
const
TopoDS_Face&
aFace,
Poly_Connect
&
pc,
TColgp_Array1OfDir
&
Nor)
{
const
Handle(Poly_Triangulation)& T =
pc.Triangulation();
BRepAdaptor_Surface S;
Standard_Boolean hasUV
= T->
HasUVNodes();
Standard_Integer i;
TopLoc_Location l;
Handle(Geom_Surface) GS
=
BRep_Tool::Surface(aFace, l);
if
(hasUV && !
GS.IsNull()) {
Standard_Boolean OK
=
Standard_True;
gp_Vec D1U,D1V;
gp_Vec D2U,D2V,D2UV;
gp_Pnt P;
Standard_Real U, V;
CSLib_DerivativeStatus Status;
CSLib_NormalStatus NStat;
S.Initialize(aFace, Standard_False);
const
TColgp_Array1OfPnt2d& UVNodes = T->
UVNodes();
if
(!S.GetType() ==
GeomAbs_Plane) {
for
(i = UVNodes.Lower(); i <= UVNodes.Upper(); i++
) {
U
=
UVNodes(i).X();
V
=
UVNodes(i).Y();
S.D1(U,V,P,D1U,D1V);
CSLib::Normal(D1U,D1V,Precision::Angular(),Status,Nor(i));
if
(Status !=
CSLib_Done) {
S.D2(U,V,P,D1U,D1V,D2U,D2V,D2UV);
CSLib::Normal(D1U,D1V,D2U,D2V,D2UV,Precision::Angular(),OK,NStat,Nor(i));
}
if
(aFace.Orientation() ==
TopAbs_REVERSED) (Nor(i)).Reverse();
}
}
else
{
gp_Dir NPlane;
U
=
UVNodes(UVNodes.Lower()).X();
V
=
UVNodes(UVNodes.Lower()).Y();
S.D1(U,V,P,D1U,D1V);
CSLib::Normal(D1U,D1V,Precision::Angular(),Status,NPlane);
if
(Status !=
CSLib_Done) {
S.D2(U,V,P,D1U,D1V,D2U,D2V,D2UV);
CSLib::Normal(D1U,D1V,D2U,D2V,D2UV,Precision::Angular(),OK,NStat,NPlane);
}
if
(aFace.Orientation() ==
TopAbs_REVERSED) NPlane.Reverse();
Nor.Init(NPlane);
}
}
else
{
const
TColgp_Array1OfPnt& Nodes = T->
Nodes();
Standard_Integer n[
3
];
const
Poly_Array1OfTriangle& triangles = T->
Triangles();
for
(i = Nodes.Lower(); i <= Nodes.Upper(); i++
) {
gp_XYZ eqPlan(
0
,
0
,
0
);
for
(pc.Initialize(i); pc.More(); pc.Next()) {
triangles(pc.Value()).Get(n[
0
], n[
1
], n[
2
]);
gp_XYZ v1(Nodes(n[
1
]).Coord()-Nodes(n[
0
]).Coord());
gp_XYZ v2(Nodes(n[
2
]).Coord()-Nodes(n[
1
]).Coord());
eqPlan
+= (v1^
v2).Normalized();
}
Nor(i)
=
gp_Dir(eqPlan);
if
(aFace.Orientation() ==
TopAbs_REVERSED) (Nor(i)).Reverse();
}
}
}
如果是參數(shù)方程表示的曲面，若不是平面，則根據(jù)切線的叉乘來計算各頂點處的法向量；若是平面，則只計算一個頂點處理的法向量，減少計算量。 若是離散后的網(wǎng)格面，則根據(jù)三角形的法向量的計算方法來計算每個頂點處的法向量。?
3.2 OpenSceneGraph中網(wǎng)格曲面的法向量計算 Compute normal in OpenSceneGraph
生成頂點法向量（osgUtil::SmoothingVisitor）類繼承自osg::NodeVisitor類，采用Visitor模式，遍歷場景中的幾何體，生成頂點法向量。osgUtil::SmoothingVisitor的使用很方便。對算法實現(xiàn)感興趣的讀者可以結(jié)合源程序來理解研究。?
四、結(jié)論 Conclusion
OpenCascascade中有曲面的參數(shù)表示，所以對這類曲面可以得用參數(shù)方程計算出曲面上的頂點的準確法向量。對于沒有參數(shù)表示的網(wǎng)格曲面，可以用平均法向量的方法來計算出一個法向量。?
OpenSceneGraph中也有快速計算網(wǎng)格曲面法向量的類osgUtil::SmoothingVisitor。?
五、參考資料 References
1. Kelly Dempski, Focus on Curves and Surfaces, Premier Press, 2003?
2. 王銳，錢學(xué)雷，OpenSceneGraph三維渲染引擎設(shè)計與實踐，清華大學(xué)出版社?
3. 肖鵬，劉更代，徐明亮，OpenSceneGraph三維渲染引擎編程指南，清華大學(xué)出版社?
?
PDF Version: Surface Normal Vector
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