要理解深度學習，需要熟悉很多簡單的數學概念：張量，張量運算，微分，梯度下降等。
首先給出一個神經網絡的示例，引出張量和梯度下降的概念。
該示例神經網絡的問題是，將手寫數據的灰度圖像劃分到10個類別中，使用MNIST數據集。

            
              from keras.datasets import mnist
from keras import models
from keras import layers
from keras.utils import to_categorical


# train_images, train_labels組成測試集，模型在這些數據中進行學習。test_images, test_labels測試集中對模型進行測試。
#圖像被編碼為Numpy數組，而標簽是數字數組，取值范圍為0-9，圖像和標簽一一對應
(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()

network = models.Sequential()

# 層（layer）是一種數據處理模塊，進去一些數據，出來的數據變得更加有用。層從輸入數據中提取表示
# 要想訓練網絡，我們需要選擇編譯步驟的三個參數1：損失函數(loss function)；2：優化器(optimizer)；3:在訓練和測試過程中需要監控的指標(metric)
network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,)))
network.add(layers.Dense(10, activation='softmax'))
network.compile(optimizer='rmsprop', loss='categorical_crossentropy', metrics=['accuracy'])

# 分類之前對數據進行的預處理
train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
train_images = train_images.astype('float32') / 255

test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))
test_images = test_images.astype('float32') / 255
train_labels = to_categorical(train_labels)
test_labels = to_categorical(test_labels)
network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)
test_loss, test_acc = network.evaluate(test_images, test_labels)
print('test_acc:', test_acc)


            
          

神經網絡的數據表示

數據存儲在Numpy數組中，也叫張量(tensor)，是數據容器。例：矩陣是二維張量。
標量
僅含一個數字的張量叫做標量，標量有0個軸(ndim == 0)。

向量
數字組成的數組叫做向量（vector）或一維張量（1D張量）

矩陣
向量組成的數組叫作矩陣（matrix）或二維張量

            
              import numpy as np
x = np.array([[5, 4, 6, 8, 9],
                      [45, 87, 22, 5, 96],
                       [98, 12, 23, 56, 43]])
print(x.ndim)
# 得到 2

            
          

關鍵屬性
張量由3個屬性來定義
軸的個數：如3D張量有3個軸，2D張量有2個軸。
形狀：如前面矩陣示例的形狀為（3，5）。向量的形狀值包含一個元素，比如（5，），而標量的形狀為空，即為（）。
數據類型（在Python庫中通常叫做detype）：張量類型可以是float32,uint8,float64等

            
              from keras.datasets import mnist


(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()
print(train_images.ndim) # 軸的個數
print(train_images.shape) # 它的形狀
print(train_images.dtype)
# 輸出
# 3
# (60000, 28, 28)
# uint8

            
          

這里可以看出train_images是一個由8位整數組成的3D張量。更準確的說，它是60000個矩陣組成的數組，每個矩陣由28*28個整數組成。
使用Matplotlib庫來顯示這個3D張量中的第4個數字

            
              from keras.datasets import mnist
(train_images, train_labels), (test_images, test_labels) = mnist.load_data()
print(train_images.ndim) # 軸的個數
print(train_images.shape) # 它的形狀
print(train_images.dtype)

            
          

數據批量的概念
深度學習中所有數據張量的第一軸（0軸）都是樣本軸，深度學習模型不會同時處理整個數據集，而是將數據拆分成小批量
下面代碼是MNIST數據集對的一個批量，批量大小為128。

            
              batch = train_image[:128]  #第一個軸叫批量軸,常出現在keras和其他深度學習庫中
batch = train_image[128*n:128 *(n+1)]

            
          

現實世界的張量
向量數據：2D張量，形狀（samples,features）
時間序列數據或序列數據：3D張量，形狀為（samples,timesteps,features）
圖像：4D張量，形狀為（samples,height,width,channels）
視頻：5D張量，形狀為（samples,frames,height,width,channels）
向量數據
第一個軸是樣本軸，第二個軸是特征軸
例：每個人的信息包括姓名，電話和地址，每個人可以表示包含3個值的向量，整個數據集包含200個，所以可以存儲在形狀為（200，3）的2D張量中。

張量運算

張量變形
張量變形是指改變張量的行和列，一得到想要的形狀，變形后的張量元素總數個數與初始張量相同。以下代碼了解張量變形。

            
              import numpy as np
x = np.array([[0., 1.],
             [2., 3.],
             [4., 5.]])
print(x.shape)
a = x.reshape((6, 1))
print(a)
b = x.reshape((2, 3))
print(b)

            
          

矩陣轉置也是張量變形

            
              c = np.zeros((400, 30))
c = np.transpose(c)
print(c.shape)

            
          

基于梯度的優化

根據上述給的示例，每個神經層都用下述方法對輸入數據進行變換

            
              output = relu(dot(w, input)+b)

            
          

w，b都是張量，均為該層的屬性，他們被稱為該層的權重，分別對應Kernel和bias屬性。一開始，這些權重矩陣取較小的隨機值。下一步根據反饋信號逐漸調節這些權重，這就是機器學習中的學習。
上述學習的過程一直重復，過程如下：

1. 抽取訓練樣本x,和對應的y組成的數據批量。
2. 在x上運行網絡（這一步叫前向傳播），得到預測值y_pred
3. 計算網絡在這批數據上的損失，用于衡量y_pred和y之間的距離
4. 更新網絡的所有權重，使網絡在這批數據上的損失略微下降。

最終得到的網絡在訓練數據上的損失非常小，這里會導致過擬合，一般使用優化器來解決，以后的博客來詳細介紹。
綜上所訴：

            
              train_images = train_images.reshape((60000, 28 * 28))
train_images = train_images.astype('float32') / 255

test_images = test_images.reshape((10000, 28 * 28))
test_images = test_images.astype('float32') / 255

            
          

輸入圖像保存在float32格式的Numpy張量中，形狀分別為（60000，784）【訓練數據】和（10000，784）【測試數據】

            
              network = models.Sequential()

# 層（layer）是一種數據處理模塊，進去一些數據，出來的數據變得更加有用。層從輸入數據中提取表示
# 要想訓練網絡，我們需要選擇編譯步驟的三個參數1：損失函數(loss function)；2：優化器(optimizer)；3:在訓練和測試過程中需要監控的指標(metric)
network.add(layers.Dense(512, activation='relu', input_shape=(28 * 28,)))
network.add(layers.Dense(10, activation='softmax'))


            
          

這個網絡包含兩個Dense層，每層對輸入數據進行一些簡單的張量運算，這些運算都包括張量權重

            
              network.compile(optimizer='rmsprop', loss='categorical_crossentropy', metrics=['accuracy'])

            
          

上述是網絡編譯

            
              network.fit(train_images, train_labels, epochs=5, batch_size=128)

            
          

fit過程中發生：網絡在開始訓練數據上進行迭代（每個小批量包含128個樣本），共迭代5次【在所有訓練數據上迭代一次叫做一個輪次】。在每次迭代過程中，網絡會計算批量損失相對于權重的梯度，并相應的更新權重。