本文借鑒于張廣河教授主編的《數據結構》，對其中的代碼進行了完善。
從某源點到其余各頂點的最短路徑
Dijkstra算法可用于求解圖中某源點到其余各頂點的最短路徑。假設G=｛V，｛E｝｝是含有n個頂點的有向圖，以該圖中頂點v為源點，使用Dijkstra算法求頂點v到圖中其余各頂點的最短路徑的基本思想如下：
- 使用集合S記錄已求得最短路徑的終點，初始時S={v}。
- 選擇一條長度最小的最短路徑，該路徑的終點w屬于V-S，將w并入S，并將該最短路徑的長度記為Dw。
-
對于V-S中任一頂點是s，將源點到頂點s的最短路徑長度記為Ds，并將頂點w到頂點s的弧的權值記為Dws，若Dw+Dws
則將源點到頂點s的最短路徑長度修改為Dw+Ds=ws。 -
重復執行2和3，知道S=V。
為了實現算法， - 使用鄰接矩陣Arcs存儲有向網，當i=j時，Arcs[i][j]=0；當i!=j時，若下標為i的頂點到下標為j的頂點有弧且弧的權值為w，則Arcs[i][j]=w，否則Arcs[i][j]=float(‘inf’)即無窮大。
- 使用Dist存儲源點到每一個終點的最短路徑長度。
- 使用列表Path存儲每一條最短路徑中倒數第二個頂點的下標。
- 使用flag記錄每一個頂點是否已經求得最短路徑，在思想中即是判斷頂點是屬于V集合，還是屬于V-S集合。
代碼實現
#構造有向圖Graph
class
Graph
:
def
__init__
(
self
,
graph
,
labels
)
:
#labels為標點名稱
self
.
Arcs
=
graph
self
.
VertexNum
=
graph
.
shape
[
0
]
self
.
labels
=
labels
def
Dijkstra
(
self
,
Vertex
,
EndNode
)
:
#Vertex為源點，EndNode為終點
Dist
=
[
[
]
for
i
in
range
(
self
.
VertexNum
)
]
#存儲源點到每一個終點的最短路徑的長度
Path
=
[
[
]
for
i
in
range
(
self
.
VertexNum
)
]
#存儲每一條最短路徑中倒數第二個頂點的下標
flag
=
[
[
]
for
i
in
range
(
self
.
VertexNum
)
]
#記錄每一個頂點是否求得最短路徑
index
=
0
#初始化
while
index
<
self
.
VertexNum
:
Dist
[
index
]
=
self
.
Arcs
[
Vertex
]
[
index
]
flag
[
index
]
=
0
if
self
.
Arcs
[
Vertex
]
[
index
]
<
float
(
'inf'
)
:
#正無窮
Path
[
index
]
=
Vertex
else
:
Path
[
index
]
=
-
1
#表示從頂點Vertex到index無路徑
index
+=
1
flag
[
Vertex
]
=
1
Path
[
Vertex
]
=
0
Dist
[
Vertex
]
=
0
index
=
1
while
index
<
self
.
VertexNum
:
MinDist
=
float
(
'inf'
)
j
=
0
while
j
<
self
.
VertexNum
:
if
flag
[
j
]
==
0
and
Dist
[
j
]
<
MinDist
:
tVertex
=
j
#tVertex為目前從V-S集合中找出的距離源點Vertex最斷路徑的頂點
MinDist
=
Dist
[
j
]
j
+=
1
flag
[
tVertex
]
=
1
EndVertex
=
0
MinDist
=
float
(
'inf'
)
#表示無窮大，若兩點間的距離小于MinDist說明兩點間有路徑
#更新Dist列表，符合思想中第三條
while
EndVertex
<
self
.
VertexNum
:
if
flag
[
EndVertex
]
==
0
:
if
self
.
Arcs
[
tVertex
]
[
EndVertex
]
<
MinDist
and
Dist
[
tVertex
]
+
self
.
Arcs
[
tVertex
]
[
EndVertex
]
<
Dist
[
EndVertex
]
:
Dist
[
EndVertex
]
=
Dist
[
tVertex
]
+
self
.
Arcs
[
tVertex
]
[
EndVertex
]
Path
[
EndVertex
]
=
tVertex
EndVertex
+=
1
index
+=
1
vertex_endnode_path
=
[
]
#存儲從源點到終點的最短路徑
return
Dist
[
EndNode
]
,
start_end_Path
(
Path
,
Vertex
,
EndNode
,
vertex_endnode_path
)
#根據本文上述定義的Path遞歸求路徑
def
start_end_Path
(
Path
,
start
,
endnode
,
path
)
:
if
start
==
endnode
:
path
.
append
(
start
)
else
:
path
.
append
(
endnode
)
start_end_Path
(
Path
,
start
,
Path
[
endnode
]
,
path
)
return
path
if
__name__
==
'__main__'
:
#float('inf')表示無窮
graph
=
np
.
array
(
[
[
0
,
6
,
5
,
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
]
,
[
float
(
'inf'
)
,
0
,
2
,
8
,
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
]
,
[
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
0
,
float
(
'inf'
)
,
3
,
float
(
'inf'
)
]
,
[
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
7
,
0
,
float
(
'inf'
)
,
9
]
,
[
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
0
,
9
]
,
[
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
float
(
'inf'
)
,
0
]
]
)
G
=
Graph
(
graph
,
labels
=
[
'a'
,
'b'
,
'c'
,
'd'
,
'e'
,
'f'
]
)
start
=
input
(
'請輸入源點'
)
endnode
=
input
(
'請輸入終點'
)
dist
,
path
=
Dijkstra
(
G
,
G
.
labels
.
index
(
start
)
,
G
.
labels
.
index
(
endnode
)
)
Path
=
[
]
for
i
in
range
(
len
(
path
)
)
:
Path
.
append
(
G
.
labels
[
path
[
len
(
path
)
-
1
-
i
]
]
)
print
(
'從頂點{}到頂點{}的最短路徑為：\n{}\n最短路徑長度為：{}'
.
format
(
start
,
endnode
,
Path
,
dist
)
)
輸出結果如下：
請輸入源點
a
請輸入終點
f
從頂點a到頂點f的最短路徑為：
['a', 'c', 'e', 'f']
最短路徑長度為：17
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