我們要求解的最優化問題的形式如下：
m i n ? f ( x ) s . t . g i ( x ) > 0 , i = 1 , . . . , m h j ( x ) = 0 , j = 1 , . . . , n \begin{aligned} min \ f(x) \\ s.t.\quad g_i(x)& \gt 0, i = 1,...,m\\ \quad h_j(x)& = 0, j = 1,...,n \end{aligned}
m
i
n
?
f
(
x
)
s
.
t
.
g
i
?
(
x
)
h
j
?
(
x
)
?
>
0
,
i
=
1
,
.
.
.
,
m
=
0
,
j
=
1
,
.
.
.
,
n
?
其中
x x
x
是一個向量，
g i ( x ) g_i(x)
g
i
?
(
x
)
是非等式約束，
h j ( x ) h_j(x)
h
j
?
(
x
)
是等式約束。
示例
在 x , y , z > 0 ， x y z = 1 x,y,z>0，xyz=1 x , y , z > 0 ， x y z = 1 的條件下，求解 ( x ? 2 / 3 ) / ( x + y + z ? 2 ) (x-2/3)/(x+y+z-2) ( x ? 2 / 3 ) / ( x + y + z ? 2 ) 的最小值。
from
scipy
.
optimize
import
minimize
import
numpy
as
np
e
=
1e
-
10
# 非常接近0的值
fun
=
lambda
x
:
(
x
[
0
]
-
0.667
)
/
(
x
[
0
]
+
x
[
1
]
+
x
[
2
]
-
2
)
# 約束函數
cons
=
(
{
'type'
:
'eq'
,
'fun'
:
lambda
x
:
x
[
0
]
*
x
[
1
]
*
x
[
2
]
-
1
}
,
# xyz=1
{
'type'
:
'ineq'
,
'fun'
:
lambda
x
:
x
[
0
]
-
e
}
,
# x>=e，即 x > 0
{
'type'
:
'ineq'
,
'fun'
:
lambda
x
:
x
[
1
]
-
e
}
,
{
'type'
:
'ineq'
,
'fun'
:
lambda
x
:
x
[
2
]
-
e
}
)
x0
=
np
.
array
(
(
1.0
,
1.0
,
1.0
)
)
# 設置初始值
res
=
minimize
(
fun
,
x0
,
method
=
'SLSQP'
,
constraints
=
cons
)
print
(
'最小值：'
,
res
.
fun
)
print
(
'最優解：'
,
res
.
x
)
print
(
'迭代終止是否成功：'
,
res
.
success
)
print
(
'迭代終止原因：'
,
res
.
message
)
輸出：
最小值： -0.18814357989751096
最優解： [0.29250894 1.84897232 1.84897233]
迭代終止是否成功： True
迭代終止原因： Optimization terminated successfully.
備注：
- 若是求一個函數的最大值，則改為求其相反數的最小值。
-
因為
ineq的約束是表示非負，所以 x > 0 x>0 x > 0 的條件可以寫為 x ? e ≥ 0 x-e\ge0 x ? e ≥ 0 ，其中 e e e 是一個盡可能小的值。 - 其實，在本題中，可以直接讓 x > 0 x\gt0 x > 0 ，因為有約束 x y z = 1 xyz=1 x y z = 1 ，所以不必擔心最后解為 x = 0 x=0 x = 0 。
函數介紹
scipy.optimize.minimize (fun, x0, args=(), method=None, jac=None, hess=None, hessp=None, bounds=None, constraints=(), tol=None, callback=None, options=None)
求取一個函數的最小值。函數的參數可以是多個，但函數值只能是標量。
參數
-
fun
: callable
目標函數 -
x0
: ndarry
初始值 -
args
: tuple, optional
額外的參數，傳給目標函數和它的導數。 -
method
: str or callable, optional
求解問題的算法名，下面選其一：
Nelder-Mead,Powell,CG,BFGS,Newton-CG,L-BFGS-B,TNC,COBYLA,SLSQP,dogleg,trust-ncg
默認是BFGS,L-BFGS-B,SLSQP之一，根據問題是否含有約束和界限自動選擇。 -
jac
: bool or callable, optional
目標函數的梯度矩陣。只適用于CG,BFGS,Newton-CG,L-BFGS-B,TNC,SLSQP,dogleg,trust-ncg。如果jac是一個Boolean且為True，則fun被認為是梯度與目標函數一起返回。如果是False，則梯度會被自動地計算。jac也可以是一個函數，返回目標函數的梯度，且參數必須與fun相同。 -
hess
,
hessp
: callable, optional
目標函數的二階導矩陣，或者二階導矩陣乘以一個隨機向量p。只適用于Newton-CG,dogleg,trust-ncg。hess和hessp只需要給出一個即可。如果提供了hess，則hessp會被忽略。如果兩者都沒有提供，則二階導矩陣會被自動計算。 -
bounds
: sequence, optional
bounds是參數的界限，只適用于L-BFGS-B,TNC和SLSQP，每個參數對應一個(min, max)，表示參數的上下限。如果只有一邊界限，則另一邊置為None。當約束是針對 x x x 中的單個元素的上下限時，就可以用bounds參數來設置。 -
constraints
: dict or sequence of dict, optional
約束定義，只適用于COBYLA和SLSQP。每個約束定義為一個詞典，鍵值對包括：- fun : callable。定義了約束函數。
-
type : str。約束類型：
eq’ 表示等式約束（fun等于0），ineq表示不等式約束（fun大于等于0）。COBYLA只支持不等式約束。 -
jac : callable, optional。
fun的梯度矩陣，只適用于SLSQP -
args : sequence, optional。傳遞給
fun和jac的額外參數。
-
tol
: float, optional
迭代終止的允許誤差。 -
options
: dict, optional
求解器的選項字典。所有的算法都接受以下的通用選項：- maxiter : int。迭代的最大次數。
-
disp : bool。如果是
True則打印出收斂信息。
-
callback
: callable, optional
每次迭代之后調用的函數，參數為xk，表示當前的參數向量。
返回值
res：優化結果。
優化結果是
OptimizeResult
對象，重要屬性如下：
-
fun是最優值。 -
x是最優解。 -
success表示求解器是否成功退出。 -
message描述了求解器退出的原因。
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