Logistic Regression Classifier邏輯回歸主要思想就是用最大似然概率方法構建出方程，為最大化方程，利用牛頓梯度上升求解方程參數。
- 優點：計算代價不高，易于理解和實現。
- 缺點：容易欠擬合，分類精度可能不高。
- 使用數據類型：數值型和標稱型數據。
介紹邏輯回歸之前，我們先看一問題，有個黑箱，里面有白球和黑球，如何判斷它們的比例。
我們從里面抓3個球，2個黑球，1個白球。這時候，有人就直接得出了黑球67%，白球占比33%。這個時候，其實這個人使用了 最大似然概率 的思想，通俗來講，當黑球是67%的占比的時候，我們抓3個球，出現2黑1白的概率最大。我們直接用公式來說明。
假設黑球占比為P，白球為1-P。于是我們要求解MAX(P P (1-P))，顯而易見P=67%（求解方法：對方程求導，使導數為0的P值即為最優解）
我們看邏輯回歸，解決的是二分類問題，是不是和上面黑球白球問題很像，是的，邏輯回歸也是最大似然概率來求解。
假設我們有n個獨立的訓練樣本{(x1, y1) ,(x2, y2),…, (xn, yn)}，y={0, 1}。那每一個觀察到的樣本(xi, yi)出現的概率是：
上面為什么是這樣呢？當y=1的時候，后面那一項是不是沒有了，那就只剩下x屬于1類的概率，當y=0的時候，第一項是不是沒有了，那就只剩下后面那個x屬于0的概率（1減去x屬于1的概率）。所以不管y是0還是1，上面得到的數，都是(x, y)出現的概率。那我們的整個樣本集，也就是n個獨立的樣本出現的似然函數為（因為每個樣本都是獨立的，所以n個樣本出現的概率就是他們各自出現的概率相乘）：
這里我們稍微變換下L(θ)：取自然對數，然后化簡（不要看到一堆公式就害怕哦，很簡單的哦，只需要耐心一點點，自己動手推推就知道了。注：有xi的時候，表示它是第i個樣本，下面沒有做區分了，相信你的眼睛是雪亮的），得到：
其中第三步到第四步使用了下面替換。
這時候為求最大值，對L(θ)對θ求導，得到：
然后我們令該導數為0，即可求出最優解。但是這個方程是無法解析求解（這里就不證明了）。
最后問題變成了，求解參數使方程L最大化，求解參數的方法梯度上升法（原理這里不解釋了，看詳細的代碼的計算方式應該更容易理解些）。
根據這個轉換公式
我們代入參數和特征，求P，也就是發生1的概率。
上面這個也就是常提及的sigmoid函數，俗稱激活函數，最后用于分類（若P(y=1|x; Θ\ThetaΘ )大于0.5，則判定為1）。
下面是詳細的邏輯回歸代碼，代碼比較簡單，主要是要理解上面的算法思想。個人建議，可以結合代碼看一步一步怎么算的，然后對比上面推導公式，可以讓人更加容易理解，并加深印象。
from numpy import *
filename='...\\testSet.txt' #文件目錄
def loadDataSet(): #讀取數據（這里只有兩個特征）
dataMat = []
labelMat = []
fr = open(filename)
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])]) #前面的1，表示方程的常量。比如兩個特征X1,X2，共需要三個參數，W1+W2*X1+W3*X2
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat,labelMat
def sigmoid(inX): #sigmoid函數
return 1.0/(1+exp(-inX))
def gradAscent(dataMat, labelMat): #梯度上升求最優參數
dataMatrix=mat(dataMat) #將讀取的數據轉換為矩陣
classLabels=mat(labelMat).transpose() #將讀取的數據轉換為矩陣
m,n = shape(dataMatrix)
alpha = 0.001 #設置梯度的閥值，該值越大梯度上升幅度越大
maxCycles = 500 #設置迭代的次數，一般看實際數據進行設定，有些可能200次就夠了
weights = ones((n,1)) #設置初始的參數，并都賦默認值為1。注意這里權重以矩陣形式表示三個參數。
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix*weights)
error = (classLabels - h) #求導后差值
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error #迭代更新權重
return weights
def stocGradAscent0(dataMat, labelMat): #隨機梯度上升，當數據量比較大時，每次迭代都選擇全量數據進行計算，計算量會非常大。所以采用每次迭代中一次只選擇其中的一行數據進行更新權重。
dataMatrix=mat(dataMat)
classLabels=labelMat
m,n=shape(dataMatrix)
alpha=0.01
maxCycles = 500
weights=ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
for i in range(m): #遍歷計算每一行
h = sigmoid(sum(dataMatrix[i] * weights))
error = classLabels[i] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[i].transpose()
return weights
def stocGradAscent1(dataMat, labelMat): #改進版隨機梯度上升，在每次迭代中隨機選擇樣本來更新權重，并且隨迭代次數增加，權重變化越小。
dataMatrix=mat(dataMat)
classLabels=labelMat
m,n=shape(dataMatrix)
weights=ones((n,1))
maxCycles=500
for j in range(maxCycles): #迭代
dataIndex=[i for i in range(m)]
for i in range(m): #隨機遍歷每一行
alpha=4/(1+j+i)+0.0001 #隨迭代次數增加，權重變化越小。
randIndex=int(random.uniform(0,len(dataIndex))) #隨機抽樣
h=sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
error=classLabels[randIndex]-h
weights=weights+alpha*error*dataMatrix[randIndex].transpose()
del(dataIndex[randIndex]) #去除已經抽取的樣本
return weights
def plotBestFit(weights): #畫出最終分類的圖
import matplotlib.pyplot as plt
dataMat,labelMat=loadDataSet()
dataArr = array(dataMat)
n = shape(dataArr)[0]
xcord1 = []; ycord1 = []
xcord2 = []; ycord2 = []
for i in range(n):
if int(labelMat[i])== 1:
xcord1.append(dataArr[i,1])
ycord1.append(dataArr[i,2])
else:
xcord2.append(dataArr[i,1])
ycord2.append(dataArr[i,2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
ax.plot(x, y)
plt.xlabel('X1')
plt.ylabel('X2')
plt.show()
def main():
dataMat, labelMat = loadDataSet()
weights=gradAscent(dataMat, labelMat).getA()
plotBestFit(weights)
if __name__=='__main__':
main()
跑完代碼結果：
當然，還可以換隨機梯度上升和改進的隨機梯度上升算法試試，效果都還不錯。
下面是代碼使用的數據，可以直接復制本地text里面，跑上面代碼。
-0.017612 14.053064 0
-1.395634 4.662541 1
-0.752157 6.538620 0
-1.322371 7.152853 0
0.423363 11.054677 0
0.406704 7.067335 1
0.667394 12.741452 0
-2.460150 6.866805 1
0.569411 9.548755 0
-0.026632 10.427743 0
0.850433 6.920334 1
1.347183 13.175500 0
1.176813 3.167020 1
-1.781871 9.097953 0
-0.566606 5.749003 1
0.931635 1.589505 1
-0.024205 6.151823 1
-0.036453 2.690988 1
-0.196949 0.444165 1
1.014459 5.754399 1
1.985298 3.230619 1
-1.693453 -0.557540 1
-0.576525 11.778922 0
-0.346811 -1.678730 1
-2.124484 2.672471 1
1.217916 9.597015 0
-0.733928 9.098687 0
-3.642001 -1.618087 1
0.315985 3.523953 1
1.416614 9.619232 0
-0.386323 3.989286 1
0.556921 8.294984 1
1.224863 11.587360 0
-1.347803 -2.406051 1
1.196604 4.951851 1
0.275221 9.543647 0
0.470575 9.332488 0
-1.889567 9.542662 0
-1.527893 12.150579 0
-1.185247 11.309318 0
-0.445678 3.297303 1
1.042222 6.105155 1
-0.618787 10.320986 0
1.152083 0.548467 1
0.828534 2.676045 1
-1.237728 10.549033 0
-0.683565 -2.166125 1
0.229456 5.921938 1
-0.959885 11.555336 0
0.492911 10.993324 0
0.184992 8.721488 0
-0.355715 10.325976 0
-0.397822 8.058397 0
0.824839 13.730343 0
1.507278 5.027866 1
0.099671 6.835839 1
-0.344008 10.717485 0
1.785928 7.718645 1
-0.918801 11.560217 0
-0.364009 4.747300 1
-0.841722 4.119083 1
0.490426 1.960539 1
-0.007194 9.075792 0
0.356107 12.447863 0
0.342578 12.281162 0
-0.810823 -1.466018 1
2.530777 6.476801 1
1.296683 11.607559 0
0.475487 12.040035 0
-0.783277 11.009725 0
0.074798 11.023650 0
-1.337472 0.468339 1
-0.102781 13.763651 0
-0.147324 2.874846 1
0.518389 9.887035 0
1.015399 7.571882 0
-1.658086 -0.027255 1
1.319944 2.171228 1
2.056216 5.019981 1
-0.851633 4.375691 1
-1.510047 6.061992 0
-1.076637 -3.181888 1
1.821096 10.283990 0
3.010150 8.401766 1
-1.099458 1.688274 1
-0.834872 -1.733869 1
-0.846637 3.849075 1
1.400102 12.628781 0
1.752842 5.468166 1
0.078557 0.059736 1
0.089392 -0.715300 1
1.825662 12.693808 0
0.197445 9.744638 0
0.126117 0.922311 1
-0.679797 1.220530 1
0.677983 2.556666 1
0.761349 10.693862 0
-2.168791 0.143632 1
1.388610 9.341997 0
0.317029 14.739025 0
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