? 這是個非常常見的算法題，見諸于《編程之美》、《編程珠璣》等經典算法書籍（亦或，經典面試書籍:)）。網上有很多關于這個問題的討論和實現，我謹在此寫下自己的理解，可能之前有人寫過，但畢竟是自己思考出來的東西，權當記錄一下。

? 問題：一個有N個整數元素的一維數組（A[0],A[1].....,A[n-1]），這個數組當然有很多個子數組(n*n個)，求最大的子數組之和。

? 經典解法：

      
        1
      
       maxsofar=
      
        0
      
      
        2
      
         maxendinghere=
      
        0
      
      
        3
      
      
        for
      
       i=[
      
        0
      
      
        ,n)

      
      
        4
      
           maxendinghere=max(maxendinghere+a[i],
      
        0
      
      
        )

      
      
        5
      
           maxsofar=max(maxendinghere,maxsofar)
    

? 在此我寫的是《編程珠璣》上的偽代碼，我認為這個偽代碼以及Bentley的解釋最好的詮釋了這個問題。

? Bentley寫到: The key to understanding this program is the variable maxendinghere.這個算法是典型的動態規劃算法，表述如下：

? 我們在計算前i個數的最大子數組和時，先記錄前i-1個數的最大子數組之和Max _i-1 。當我們遇到新的數A[i]時，如果A[i]的加入會使得某個子數組的和大于前i-1個數的最大子數組和，則更新Max _i =該子數組的和，否則，Max _i =Max _i-1 .接下來我們只需要考慮，A[i]的加入可能會使哪個子數組的和增加？當然是以i-1個數結尾的子數組。所以，在計算前i個數的最大子數組之和時，我們除了要記錄前i-1個數的最大子數組之和，還應該記錄以i-1個數結尾的最大子數組之和。算法如下：

? 假設我們已經知道了前i-1個數組的最大子數組為A[j],....,A[k]，其和為Sum _k ,同時我們記錄以i-1為結尾的最大子數組為A[m],...,A[i-1]，其和為Sum _i-1 ，顯然，Sum _i-1 <=Sum _k 。

? 當遇到第i個數時，如果A[i]>0，則Sum _i-1 +A[i]可能會大于Sum _k .所以我們更新前i個數的最大子數組之和為：max{Sum _i-1 +A[i],Sum _k }.

? 然后我們還應該更新以i結尾的最大子數組之和：Sum _i =max{Sum _i-1 +A[i],0}.亦即，如果Sum _i-1 +A[i]大于0，則以i結尾的最大子數組為A[m],...,A[i-1],A[i]。否則，若Sum _i-1 +A[i]小于等于0，則該子數組的和還不如一個空的子數組的和0，將該子數字重置為空，其和為0.

? 這個經典問題有一個很類似的變種：即同樣給定一個數組，寫一個在其中找出不連續子數組和的最大值，也就是說子數組里的任意相鄰的兩個元素，在原數組里都必須是不相鄰的才行。同樣以數組{1, -2, 3, 5, -1, 2}為例，則和最大的不連續子數組是{1, 5, 2}，函數返回值是8。

? 有了第一個問題的解答，第二個問題應該很簡單。我們考慮下，假設我們已經知道了前i-1個數的數組的不連續子數組和的最大值，當第i個數加入時，這個不連續子數組和在什么情況下會改變？

? 第i個數加入后不能與以i-1結尾的最大不連續子數組連接，這樣會違反不連續的規則。所以我們要考慮結尾最大為i-2的和最大的不連續子數組，設其和為Sum _i-2 .當Sum _i-2 +A[i]大于以第i-1個數結尾的不連續子數組和的最大值時，我們更新前i個數組成的數組的不連續子數組和的最大值為Sum _i-2 +A[i]。算法的代碼為：

      
        1
      
      
        for
      
      (
      
        int
      
       i=2;i<length;i++
      
        ){            

      
      
        2
      
           maxendingi=max(maxendingi_2+
      
        array[i],maxendingi_2,maxendingi_1);

      
      
        3
      
      
        int
      
       tmp=
      
        maxendingi_2;

      
      
        4
      
           maxendingi_2=
      
        max(maxendingi_1,maxendingi_2);

      
      
        5
      
      
        maxendingi_1=max(tmp+array[i],array[i]);

      
      
        6
      
       }
    

?? 其中maxendingi表示前i個數組成的數組的最大不連續子數組的和。

? maxendingi_2記錄的是結尾最大為i-2的和最大的不連續子數組的和，初始化為array[1]。

? maxendingi_1記錄的是以i-1結尾的最大的不連續子數組的和,初始化為array[2]。

? 數組長度小于3的情況可以另行處理。

參考文獻：

? [1] Jon Bentley 編程珠璣 p81

? [2] 面試趣題：求不連續子數組最大和的值

基本算法-求最大子數組和 及其變種