協同過濾
在 用戶 ―― 物品（user - item）的數據關系下很容易收集到一些偏好信息（preference），比如評分。利用這些分散的偏好信息，基于其背后可能存在的關聯性，來為用戶推薦物品的方法，便是協同過濾，或稱協作型過濾（collaborative filtering）。
這種過濾算法的有效性基礎在于：
??? 用戶的偏好具有相似性，即用戶是可分類的。這種分類的特征越明顯，推薦的準確率就越高
??? 物品之間是存在關系的，即偏好某一物品的任何人，都很可能也同時偏好另一件物品
不同環(huán)境下這兩種理論的有效性也不同，應用時需做相應調整。如豆瓣上的文藝作品，用戶對其的偏好程度與用戶自身的品位關聯性較強；而對于電子商務網站來說，商品之間的內在聯系對用戶的購買行為影響更為顯著。當用在推薦上，這兩種方向也被稱為基于用戶的和基于物品的。本文內容為基于用戶的。
影評推薦實例
本文主要內容為基于用戶偏好的相似性進行物品推薦，使用的數據集為 GroupLens Research 采集的一組從 20 世紀 90 年代末到 21 世紀初由 MovieLens 用戶提供的電影評分數據。數據中包含了約 6000 名用戶對約 4000 部電影的 100萬條評分，五分制。數據包可以從網上下載到，里面包含了三個數據表――users、movies、ratings。因為本文的主題是基于用戶偏好的，所以只使用 ratings 這一個文件。另兩個文件里分別包含用戶和電影的元信息。
本文使用的數據分析包為 pandas，環(huán)境為 IPython，因此其實還默認攜帶了 Numpy 和 matplotlib。下面代碼中的提示符看起來不是 IPython 環(huán)境是因為 Idle 的格式發(fā)在博客上更好看一些。
數據規(guī)整
首先將評分數據從 ratings.dat 中讀出到一個 DataFrame 里：
>>> import pandas as pd
>>> from pandas import Series,DataFrame
>>> rnames = ['user_id','movie_id','rating','timestamp']
>>> ratings = pd.read_table(r'ratings.dat',sep='::',header=None,names=rnames)
>>> ratings[:3]
user_id movie_id rating timestamp
0 1 1193 5 978300760
1 1 661 3 978302109
2 1 914 3 978301968
[3 rows x 4 columns]
ratings 表中對我們有用的僅是 user_id、movie_id 和 rating 這三列，因此我們將這三列取出，放到一個以 user 為行，movie 為列，rating 為值的表 data 里面。（其實將 user 與 movie 的行列關系對調是更加科學的方法，但因為重跑一遍太麻煩了，這里就沒改。）
?
>>> data = ratings.pivot(index='user_id',columns='movie_id',values='rating')
>>> data[:5]
movie_id 1 2 3 4 5 6
user_id
1 5 NaN NaN NaN NaN NaN ...
2 NaN NaN NaN NaN NaN NaN ...
3 NaN NaN NaN NaN NaN NaN ...
4 NaN NaN NaN NaN NaN NaN ...
5 NaN NaN NaN NaN NaN 2 ...
可以看到這個表相當得稀疏，填充率大約只有 5%，接下來要實現推薦的第一步是計算 user 之間的相關系數，DataFrame 對象有一個很親切的 .corr(method='pearson', min_periods=1) 方法，可以對所有列互相計算相關系數。method 默認為皮爾遜相關系數，這個 ok，我們就用這個。問題僅在于那個 min_periods 參數，這個參數的作用是設定計算相關系數時的最小樣本量，低于此值的一對列將不進行運算。這個值的取舍關系到相關系數計算的準確性，因此有必要先來確定一下這個參數。
??? 相關系數是用于評價兩個變量間線性關系的一個值，取值范圍為 [-1, 1]，-1代表負相關，0 代表不相關，1 代表正相關。其中 0~0.1 一般被認為是弱相關，0.1~0.4 為相關，0.4~1 為強相關。
min_periods 參數測定
測定這樣一個參數的基本方法為統計在 min_periods 取不同值時，相關系數的標準差大小，越小越好；但同時又要考慮到，我們的樣本空間十分稀疏，min_periods 定得太高會導致出來的結果集太小，所以只能選定一個折中的值。
這里我們測定評分系統標準差的方法為：在 data 中挑選一對重疊評分最多的用戶，用他們之間的相關系數的標準差去對整體標準差做點估計。在此前提下對這一對用戶在不同樣本量下的相關系數進行統計，觀察其標準差變化。
首先，要找出重疊評分最多的一對用戶。我們新建一個以 user 為行列的方陣 foo，然后挨個填充不同用戶間重疊評分的個數：
?
>>> foo = DataFrame(np.empty((len(data.index),len(data.index)),dtype=int),index=data.index,columns=data.index)
>>> for i in foo.index:
for j in foo.columns:
foo.ix[i,j] = data.ix[i][data.ix[j].notnull()].dropna().count()
這段代碼特別費時間，因為最后一行語句要執(zhí)行 4000*4000 = 1600萬遍；（其中有一半是重復運算，因為 foo 這個方陣是對稱的）還有一個原因是 Python 的 GIL，使得其只能使用一個 CPU 線程。我在它執(zhí)行了一個小時后，忍不住去測試了一下總時間，發(fā)現要三個多小時后就果斷 Ctrl + C 了，在算了一小半的 foo 中，我找到的最大值所對應的行列分別為 424 和 4169，這兩位用戶之間的重疊評分數為 998：
?
>>> for i in foo.index:
foo.ix[i,i]=0#先把對角線的值設為 0
>>> ser = Series(np.zeros(len(foo.index)))
>>> for i in foo.index:
ser[i]=foo[i].max()#計算每行中的最大值
>>> ser.idxmax()#返回 ser 的最大值所在的行號
4169
>>> ser[4169]#取得最大值
998
>>> foo[foo==998][4169].dropna()#取得另一個 user_id
424 4169
Name: user_id, dtype: float64
我們把 424 和 4169 的評分數據單獨拿出來，放到一個名為 test 的表里，另外計算了一下這兩個用戶之間的相關系數為 0.456，還算不錯，另外通過柱狀圖了解一下他倆的評分分布情況：
>>> data.ix[4169].corr(data.ix[424])
0.45663851303413217
>>> test = data.reindex([424,4169],columns=data.ix[4169][data.ix[424].notnull()].dropna().index)
>>> test
movie_id 2 6 10 11 12 17 ...
424 4 4 4 4 1 5 ...
4169 3 4 4 4 2 5 ...
>>> test.ix[424].value_counts(sort=False).plot(kind='bar')
>>> test.ix[4169].value_counts(sort=False).plot(kind='bar')
對這倆用戶的相關系數統計，我們分別隨機抽取 20、50、100、200、500 和 998 個樣本值，各抽 20 次。并統計結果：
>>> periods_test = DataFrame(np.zeros((20,7)),columns=[10,20,50,100,200,500,998])
>>> for i in periods_test.index:
for j in periods_test.columns:
sample = test.reindex(columns=np.random.permutation(test.columns)[:j])
periods_test.ix[i,j] = sample.iloc[0].corr(sample.iloc[1])
>>> periods_test[:5]
10 20 50 100 200 500 998
0 -0.306719 0.709073 0.504374 0.376921 0.477140 0.426938 0.456639
1 0.386658 0.607569 0.434761 0.471930 0.437222 0.430765 0.456639
2 0.507415 0.585808 0.440619 0.634782 0.490574 0.436799 0.456639
3 0.628112 0.628281 0.452331 0.380073 0.472045 0.444222 0.456639
4 0.792533 0.641503 0.444989 0.499253 0.426420 0.441292 0.456639
[5 rows x 7 columns]
>>> periods_test.describe()
10 20 50 100 200 500 #998略
count 20.000000 20.000000 20.000000 20.000000 20.000000 20.000000
mean 0.346810 0.464726 0.458866 0.450155 0.467559 0.452448
std 0.398553 0.181743 0.103820 0.093663 0.036439 0.029758
min -0.444302 0.087370 0.192391 0.242112 0.412291 0.399875
25% 0.174531 0.320941 0.434744 0.375643 0.439228 0.435290
50% 0.487157 0.525217 0.476653 0.468850 0.472562 0.443772
75% 0.638685 0.616643 0.519827 0.500825 0.487389 0.465787
max 0.850963 0.709073 0.592040 0.634782 0.546001 0.513486
[8 rows x 7 columns]
從 std 這一行來看，理想的 min_periods 參數值應當為 200 左右。可能有人會覺得 200 太大了，這個推薦算法對新用戶簡直沒意義。但是得說，隨便算出個有超大誤差的相關系數，然后拿去做不靠譜的推薦，又有什么意義呢。
算法檢驗
為了確認在 min_periods=200 下本推薦算法的靠譜程度，最好還是先做個檢驗。具體方法為：在評價數大于 200 的用戶中隨機抽取 1000 位用戶，每人隨機提取一個評價另存到一個數組里，并在數據表中刪除這個評價。然后基于閹割過的數據表計算被提取出的 1000 個評分的期望值，最后與真實評價數組進行相關性比較，看結果如何。
?
>>> check_size = 1000
>>> check = {}
>>> check_data = data.copy()#復制一份 data 用于檢驗，以免篡改原數據
>>> check_data = check_data.ix[check_data.count(axis=1)>200]#濾除評價數小于200的用戶
>>> for user in np.random.permutation(check_data.index):
movie = np.random.permutation(check_data.ix[user].dropna().index)[0]
check[(user,movie)] = check_data.ix[user,movie]
check_data.ix[user,movie] = np.nan
check_size -= 1
if not check_size:
break
>>> corr = check_data.T.corr(min_periods=200)
>>> corr_clean = corr.dropna(how='all')
>>> corr_clean = corr_clean.dropna(axis=1,how='all')#刪除全空的行和列
>>> check_ser = Series(check)#這里是被提取出來的 1000 個真實評分
>>> check_ser[:5]
(15, 593) 4
(23, 555) 3
(33, 3363) 4
(36, 2355) 5
(53, 3605) 4
dtype: float64
接下來要基于 corr_clean 給 check_ser 中的 1000 個 用戶-影片 對計算評分期望。計算方法為：對與用戶相關系數大于 0.1 的其他用戶評分進行加權平均，權值為相關系數：
?
>>> result = Series(np.nan,index=check_ser.index)
>>> for user,movie in result.index:#這個循環(huán)看著很亂，實際內容就是加權平均而已
prediction = []
if user in corr_clean.index:
corr_set = corr_clean[user][corr_clean[user]>0.1].dropna()#僅限大于 0.1 的用戶
else:continue
for other in corr_set.index:
if not np.isnan(data.ix[other,movie]) and other != user:#注意bool(np.nan)==True
prediction.append((data.ix[other,movie],corr_set[other]))
if prediction:
result[(user,movie)] = sum([value*weight for value,weight in prediction])/sum([pair[1] for pair in prediction])
>>> result.dropna(inplace=True)
>>> len(result)#隨機抽取的 1000 個用戶中也有被 min_periods=200 刷掉的
862
>>> result[:5]
(23, 555) 3.967617
(33, 3363) 4.073205
(36, 2355) 3.903497
(53, 3605) 2.948003
(62, 1488) 2.606582
dtype: float64
>>> result.corr(check_ser.reindex(result.index))
0.436227437429696
>>> (result-check_ser.reindex(result.index)).abs().describe()#推薦期望與實際評價之差的絕對值
count 862.000000
mean 0.785337
std 0.605865
min 0.000000
25% 0.290384
50% 0.686033
75% 1.132256
max 3.629720
dtype: float64
862 的樣本量能達到 0.436 的相關系數，應該說結果還不錯。如果一開始沒有濾掉評價數小于 200 的用戶的話，那么首先在計算 corr 時會明顯感覺時間變長，其次 result 中的樣本量會很小，大約 200+ 個。但因為樣本量變小的緣故，相關系數可以提升到 0.5~0.6 。
另外從期望與實際評價的差的絕對值的統計量上看，數據也比較理想。
實現推薦
在上面的檢驗，尤其是平均加權的部分做完后，推薦的實現就沒有什么新東西了。
首先在原始未閹割的 data 數據上重做一份 corr 表：
?
>>> corr = data.T.corr(min_periods=200)
>>> corr_clean = corr.dropna(how='all')
>>> corr_clean = corr_clean.dropna(axis=1,how='all')
我們在 corr_clean 中隨機挑選一位用戶為他做一個推薦列表：
?
>>> lucky = np.random.permutation(corr_clean.index)[0]
>>> gift = data.ix[lucky]
>>> gift = gift[gift.isnull()]#現在 gift 是一個全空的序列
最后的任務就是填充這個 gift：
?
>>> corr_lucky = corr_clean[lucky].drop(lucky)#lucky 與其他用戶的相關系數 Series，不包含 lucky 自身
>>> corr_lucky = corr_lucky[corr_lucky>0.1].dropna()#篩選相關系數大于 0.1 的用戶
>>> for movie in gift.index:#遍歷所有 lucky 沒看過的電影
prediction = []
for other in corr_lucky.index:#遍歷所有與 lucky 相關系數大于 0.1 的用戶
if not np.isnan(data.ix[other,movie]):
prediction.append((data.ix[other,movie],corr_clean[lucky][other]))
if prediction:
gift[movie] = sum([value*weight for value,weight in prediction])/sum([pair[1] for pair in prediction])
>>> gift.dropna().order(ascending=False)#將 gift 的非空元素按降序排列
movie_id
3245 5.000000
2930 5.000000
2830 5.000000
2569 5.000000
1795 5.000000
981 5.000000
696 5.000000
682 5.000000
666 5.000000
572 5.000000
1420 5.000000
3338 4.845331
669 4.660464
214 4.655798
3410 4.624088
...
2833 1
2777 1
2039 1
1773 1
1720 1
1692 1
1538 1
1430 1
1311 1
1164 1
843 1
660 1
634 1
591 1
56 1
Name: 3945, Length: 2991, dtype: float64
?
補充
上面給出的示例都是些原型代碼，有很多可優(yōu)化的空間。比如 data 的行列轉換；比如測定 min_periods 時的方陣 foo 只需計算一半；比如有些 for 循環(huán)和相應運算可以用數組對象方法來實現（方法版比用戶自己編寫的版本速度快很多）；甚至肯定還有一些 bug。另外這個數據集的體積還不算太大，如果再增長一個數量級，那么就有必要針對計算密集的部分（如 corr）做進一步優(yōu)化了，可以使用多進程，或者 Cython/C 代碼。（或者換更好的硬件）
雖然協同過濾是一種比較省事的推薦方法，但在某些場合下并不如利用元信息推薦好用。協同過濾會遇到的兩個常見問題是
- ??? 稀疏性問題――因用戶做出評價過少，導致算出的相關系數不準確
- ??? 冷啟動問題――因物品獲得評價過少，導致無“權”進入推薦列表中
都是樣本量太少導致的。（上例中也使用了至少 200 的有效重疊評價數）因此在對于新用戶和新物品進行推薦時，使用一些更一般性的方法效果可能會更好。比如給新用戶推薦更多平均得分超高的電影；把新電影推薦給喜歡類似電影（如具有相同導演或演員）的人。后面這種做法需要維護一個物品分類表，這個表既可以是基于物品元信息劃分的，也可是通過聚類得到的。
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