本博客主要內容為圖書《劍指offer》第二版47 題的解題思路及代碼。方法可能還有不足之處，歡迎大家討論評論。
1. 題目描述
??在一個 m*n 的棋盤中的每一個格都放一個禮物，每個禮物都有一定的價值（價值大于0）.你可以從棋盤的左上角開始拿各種里的禮物，并每次向左或者向下移動一格，直到到達棋盤的右下角。給定一個棋盤及上面個的禮物，請計算你最多能拿走多少價值的禮物？
??比如說現在有一個如下的棋盤，
在這個棋盤中，按照（1，12，5，7，7，16，5）的順序可以拿到總價值最大的禮物。
2. 題目分析
??我們首先使用遞歸的思路進行分析，當求解到達右下角時禮物的最大總價值時，可以通過如下的遞推關系進行計算
其中 f ( i , j ) 是要求解的最大值， f ( i , j ? 1 ) 到達 ( i , j ) 點左邊點時得到最大禮物價值，而 f ( i ? 1 , j ) 是到達 ( i , j ) 點上邊點時得到最大禮物價值， g ( i , j ) 是 ( i , j ) 點禮物的價值。同歸地推關系式可以使用遞歸的方法進行求解，但是在使用遞歸求解的過程中會重復求解許多的值，所以這個時候就應該使用動態規劃的方式進行求解。也就是說分析的過程如上，是從上到下遞歸地分析；而求解過程是從下到上循環地求解。
??一個很直觀的想法是，我們將每一步求解出的結果都保存在一個矩陣中。那么在這個問題中就要有一個和原始矩陣等大的矩陣進行存儲，但是實際上只需要一個與列數相同維數的一維數組就夠了。為什么存儲這么少的就夠了呢。
??在動態規劃求解這個問題的時候，我們找出到達每一行中每個位置的最大值，在求解第一行的時候，很明顯只能一直向右走，對于第二行的一個數字，很明顯只能從 ( 0 , 0 ) 走到 ( 0 , 1 ) ，這個還是先用與原始矩陣同樣大的矩陣進行分析，如下所示
在上圖中，如果要求到達 a 點的禮物的最大值，它只與左邊的值和它上面的值有關，所以在計算 a 之前就可以將 1 去掉了，因為后面的計算都不會用到 a 的。同理計算出 a 點的最大值之后就可以將 11 替換掉了，因為再求 b 的時候不會再用到。分析到這里我們就可以發現，并不需要一個與原始矩陣等大的矩陣來存儲中間計算的值，只需要一個與列數相同的一維向量即可。
3. 代碼實現
class
Solution
:
def
getmaxValue
(self, values, rows, cols)
:
if
not
values
or
rows<=
0
or
cols <=
0
:
return
0
# 用于存放中間數值的臨時數組
temp = [
0
] * cols
for
i
in
range(rows):
for
j
in
range(cols):
left =
0
up =
0
if
i >
0
:
up = temp[j]
if
j >
0
:
left = temp[j-
1
]
temp[j] = max(up,left) + values[i*rows+j]
return
temp[-
1
]
s = Solution()
a = s.getmaxValue([
1
,
10
,
3
,
8
,
12
,
2
,
9
,
6
,
5
,
7
,
4
,
11
,
3
,
7
,
16
,
5
],
4
,
4
)
參考文獻
- 何海濤. 劍指Offer.第2版[M]. 電子工業出版社, 2014.
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