OpenGL通過相機模擬、可以實現(xiàn)計算機圖形學(xué)中最基本的三維變換，即幾何變換、投影變換、裁剪變換、視口變換等，同時，OpenGL還實現(xiàn)了矩陣堆棧等。理解掌握了有關(guān)坐標(biāo)變換的內(nèi)容，就算真正走進了精彩地三維世界。

一、OpenGL中的三維物體的顯示

　　（一）坐標(biāo)系統(tǒng)

　　在現(xiàn)實世界中，所有的物體都具有三維特征，但計算機本身只能處理數(shù)字，顯示二維的圖形，將三維物體及二維數(shù)據(jù)聯(lián)系在一起的唯一紐帶就是坐標(biāo)。

　　為了使被顯示的三維物體數(shù)字化，要在被顯示的物體所在的空間中定義一個坐標(biāo)系。這個坐標(biāo)系的長度單位和坐標(biāo)軸的方向要適合對被顯示物體的描述，這個坐標(biāo)系稱為世界坐標(biāo)系。世界坐標(biāo)系是始終固定不變的。

　　OpenGL還定義了局部坐標(biāo)系的概念，所謂局部坐標(biāo)系，也就是坐標(biāo)系以物體的中心為坐標(biāo)原點，物體的旋轉(zhuǎn)或平移等操作都是圍繞局部坐標(biāo)系進行的，這時，當(dāng)物體模型進行旋轉(zhuǎn)或平移等操作時，局部坐標(biāo)系也執(zhí)行相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)或平移操作。需要注意的是，如果對物體模型進行縮放操作，則局部坐標(biāo)系也要進行相應(yīng)的縮放，如果縮放比例在案各坐標(biāo)軸上不同，那么再經(jīng)過旋轉(zhuǎn)操作后，局部坐標(biāo)軸之間可能不再相互垂直。無論是在世界坐標(biāo)系中進行轉(zhuǎn)換還是在局部坐標(biāo)系中進行轉(zhuǎn)換，程序代碼是相同的，只是不同的坐標(biāo)系考慮的轉(zhuǎn)換方式不同罷了。

　　計算機對數(shù)字化的顯示物體作了加工處理后，要在圖形顯示器上顯示，這就要在圖形顯示器屏幕上定義一個二維直角坐標(biāo)系，這個坐標(biāo)系稱為屏幕坐標(biāo)系。這個坐標(biāo)系坐標(biāo)軸的方向通常取成平行于屏幕的邊緣，坐標(biāo)原點取在左下角，長度單位常取成一個象素。

　?。ǘ┤S物體的相機模擬

　　為了說明在三維物體到二維圖象之間，需要經(jīng)過什么樣的變換，我們引入了相機（Camera）模擬的方式，假定用相機來拍攝這個世界，那么在相機的取景器中，就存在人眼和現(xiàn)實世界之間的一個變換過程。

圖一、相機模擬OpenGL中的各種坐標(biāo)變換

　　從三維物體到二維圖象，就如同用相機拍照一樣，通常都要經(jīng)歷以下幾個步驟：

　　1、將相機置于三角架上，讓它對準(zhǔn)三維景物，它相當(dāng)于OpenGL中調(diào)整視點的位置，即視點變換（Viewing Transformation）。

　　2、將三維物體放在場景中的適當(dāng)位置，它相當(dāng)于OpenGL中的模型變換（Modeling Transformation），即對模型進行旋轉(zhuǎn)、平移和縮放。

　　3、選擇相機鏡頭并調(diào)焦，使三維物體投影在二維膠片上，它相當(dāng)于OpenGL中把三維模型投影到二維屏幕上的過程，即OpenGL的投影變換（Projection Transformation），OpenGL中投影的方法有兩種，即正射投影和透視投影。為了使顯示的物體能以合適的位置、大小和方向顯示出來，必須要通過投影。有時為了突出圖形的一部分，只把圖形的某一部分顯示出來，這時可以定義一個三維視景體（Viewing Volume）。正射投影時一般是一個長方體的視景體，透視投影時一般是一個棱臺似的視景體。只有視景體內(nèi)的物體能被投影在顯示平面上，其他部分則不能。

　　4、沖洗底片，決定二維相片的大小，它相當(dāng)與OpenGL中的視口變換（Viewport Transformation）（在屏幕窗口內(nèi)可以定義一個矩形，稱為視口（Viewport），視景體投影后的圖形就在視口內(nèi)顯示）規(guī)定屏幕上顯示場景的范圍和尺寸。

　　通過上面的幾個步驟，一個三維空間里的物體就可以用相應(yīng)的二維平面物體表示了，也就能在二維的電腦屏幕上正確顯示了?？偟膩碚f，三維物體的顯示過程如下：

圖二、三維物體的顯示過程

二、OpenGL中的幾種變換

　　OpenGL中的各種轉(zhuǎn)換是通過矩陣運算實現(xiàn)的，具體的說，就是當(dāng)發(fā)出一個轉(zhuǎn)換命令時，該命令會生成一個4X4階的轉(zhuǎn)換矩陣（OpenGL中的物體坐標(biāo)一律采用齊次坐標(biāo)，即(x, y, z, w)，故所有變換矩陣都采用4X4矩陣），當(dāng)前矩陣與這個轉(zhuǎn)換矩陣相乘，從而生成新的當(dāng)前矩陣。例如，對于頂點坐標(biāo)v ，轉(zhuǎn)換命令通常在頂點坐標(biāo)命令之前發(fā)出，若當(dāng)前矩陣為C，轉(zhuǎn)換命令構(gòu)成的矩陣為M，則發(fā)出轉(zhuǎn)換命令后，生成的新的當(dāng)前矩陣為CM，這個矩陣再乘以頂點坐標(biāo)v，從而構(gòu)成新的頂點坐標(biāo)CMv。上述過程說明，程序中繪制頂點前的最后一個變換命令最先作用于頂點之上。這同時也說明，OpenGL編程中，實際的變換順序與指定的順序是相反的。

　?。ㄒ唬┮朁c變換

　　視點變換確定了場景中物體的視點位置和方向，就向上邊提到的，它象是在場景中放置了一架照相機，讓相機對準(zhǔn)要拍攝的物體。確省時，相機（即視點）定位在坐標(biāo)系的原點（相機初始方向都指向Z負(fù)軸），它同物體模型的缺省位置是一致的，顯然，如果不進行視點變換，相機和物體是重疊在一起的。

　　執(zhí)行視點變換的命令和執(zhí)行模型轉(zhuǎn)換的命令是相同的，想一想，在用相機拍攝物體時，我們可以保持物體的位置不動，而將相機移離物體，這就相當(dāng)于視點變換；另外，我們也可以保持相機的固定位置，將物體移離相機，這就相當(dāng)于模型轉(zhuǎn)換。這樣，在OpenGL中，以逆時針旋轉(zhuǎn)物體就相當(dāng)于以順時針旋轉(zhuǎn)相機。因此，我們必須把視點轉(zhuǎn)換和模型轉(zhuǎn)換結(jié)合在一起考慮，而對這兩種轉(zhuǎn)換單獨進行考慮是毫無意義的。
除了用模型轉(zhuǎn)換命令執(zhí)行視點轉(zhuǎn)換之外，OpenGL實用庫還提供了gluLookAt()函數(shù)，該函數(shù)有三個變量，分別定義了視點的位置、相機瞄準(zhǔn)方向的參考點以及相機的向上方向。該函數(shù)的原型為：

void gluLookAt(GLdouble eyex,GLdouble eyey,GLdouble eyez,GLdouble centerx,GLdouble centery,GLdouble upx,GLdouble upy,GLdouble upz);

　　該函數(shù)定義了視點矩陣，并用該矩陣乘以當(dāng)前矩陣。eyex,eyey,eyez定義了視點的位置；centerx、centery和centerz變量指定了參考點的位置，該點通常為相機所瞄準(zhǔn)的場景中心軸線上的點；upx、upy、upz變量指定了向上向量的方向。

　　通常，視點轉(zhuǎn)換操作在模型轉(zhuǎn)換操作之前發(fā)出，以便模型轉(zhuǎn)換先對物體發(fā)生作用。場景中物體的頂點經(jīng)過模型轉(zhuǎn)換之后移動到所希望的位置，然后再對場景進行視點定位等操作。模型轉(zhuǎn)換和視點轉(zhuǎn)換共同構(gòu)成模型視景矩陣。

　?。ǘ┠Ｐ妥儞Q

　　模型變換是在世界坐標(biāo)系中進行的。缺省時，物體模型的中心定位在坐標(biāo)系的中心處。OpenGL在這個坐標(biāo)系中，有三個命令，可以模型變換。

　　1、模型平移

glTranslate{fd}(TYPE x,TYPE y,TYPE z);

　　該函數(shù)用指定的x,y,z值沿著x軸、y軸、z軸平移物體（或按照相同的量值移動局部坐標(biāo)系）。

　　2、模型旋轉(zhuǎn)

glRotate{fd}(TYPE angle,TYPE x,TYPE,y,TYPE z);

　　該函數(shù)中第一個變量angle制定模型旋轉(zhuǎn)的角度，單位為度，后三個變量表示以原點（0,0,0）到點(x,y,z)的連線為軸線逆時針旋轉(zhuǎn)物體。例如，glRotatef(45.0,0.0,0.0,1.0)的結(jié)果是繞z軸旋轉(zhuǎn)45度。

　　3、模型縮放

glScale{fd}(TYPE x,TYPE y,TYPE z);

　　該函數(shù)可以對物體沿著x,y,z軸分別進行放大縮小。函數(shù)中的三個參數(shù)分別是x、y、z軸方向的比例變換因子。缺省時都為1.0，即物體沒變化。程序中物體Y軸比例為2.0，其余都為1.0，就是說將立方體變成長方體。

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　　經(jīng)過模型視景的轉(zhuǎn)換后，場景中的物體放在了所希望的位置上，但由于顯示器只能用二維圖象顯示三維物體，因此就要靠投影來降低維數(shù)（投影變換類似于選擇相機的鏡頭）。

　　事實上，投影變換的目的就是定義一個視景體，使得視景體外多余的部分裁剪掉，最終進入圖像的只是視景體內(nèi)的有關(guān)部分。投影包括透視投影（Perspective Projection）和正視投影（Orthographic Projection）兩種。

　　透視投影，符合人們心理習(xí)慣，即離視點近的物體大，離視點遠的物體小，遠到極點即為消失，成為滅點。它的視景體類似于一個頂部和底部都被進行切割過的棱椎，也就是棱臺。這個投影通常用于動畫、視覺仿真以及其它許多具有真實性反映的方面。

　　OpenGL透視投影函數(shù)有兩個，其中函數(shù)glFrustum()的原型為：

void glFrustum(GLdouble left,GLdouble Right,GLdouble bottom,GLdouble top,GLdouble near,GLdouble far);

　　它創(chuàng)建一個透視視景體。其操作是創(chuàng)建一個透視投影矩陣，并且用這個矩陣乘以當(dāng)前矩陣。這個函數(shù)的參數(shù)只定義近裁剪平面的左下角點和右上角點的三維空間坐標(biāo)，即（left，bottom，-near）和（right，top，-near）；最后一個參數(shù)far是遠裁剪平面的Z負(fù)值，其左下角點和右上角點空間坐標(biāo)由函數(shù)根據(jù)透視投影原理自動生成。near和far表示離視點的遠近，它們總為正值。該函數(shù)形成的視景體如圖三所示。

圖三、透視投影視景體

　　另一個透視函數(shù)是：

void gluPerspective(GLdouble fovy,GLdouble aspect,GLdouble zNear, GLdouble zFar);

　　它也創(chuàng)建一個對稱透視視景體，但它的參數(shù)定義于前面的不同，參數(shù)fovy定義視野在X-Z平面的角度，范圍是[0.0, 180.0]；參數(shù)aspect是投影平面寬度與高度的比率；參數(shù)zNear和Far分別是遠近裁剪面沿Z負(fù)軸到視點的距離，它們總為正值。

圖四、透視投影視景體

　　以上兩個函數(shù)缺省時，視點都在原點，視線沿Z軸指向負(fù)方向。

　　正射投影，又叫平行投影。這種投影的視景體是一個矩形的平行管道，也就是一個長方體，如圖五所示。正射投影的最大一個特點是無論物體距離相機多遠，投影后的物體大小尺寸不變。這種投影通常用在建筑藍圖繪制和計算機輔助設(shè)計等方面，這些行業(yè)要求投影后的物體尺寸及相互間的角度不變，以便施工或制造時物體比例大小正確。

圖五、正射投影視景體

　　OpenGL正射投影函數(shù)也有兩個，一個函數(shù)是：

void glOrtho(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top, GLdouble near,GLdouble far)

　　它創(chuàng)建一個平行視景體。實際上這個函數(shù)的操作是創(chuàng)建一個正射投影矩陣，并且用這個矩陣乘以當(dāng)前矩陣。其中近裁剪平面是一個矩形，矩形左下角點三維空間坐標(biāo)是（left，bottom，-near），右上角點是（right，top，-near）；遠裁剪平面也是一個矩形，左下角點空間坐標(biāo)是（left，bottom，-far），右上角點是（right，top，-far）。所有的near和far值同時為正或同時為負(fù)。如果沒有其他變換，正射投影的方向平行于Z軸，且視點朝向Z負(fù)軸。這意味著物體在視點前面時far和near都為負(fù)值，物體在視點后面時far和near都為正值。

　　另一個函數(shù)是：

void gluOrtho2D(GLdouble left,GLdouble right,GLdouble bottom,GLdouble top)

　　它是一個特殊的正射投影函數(shù)，主要用于二維圖像到二維屏幕上的投影。它的near和far缺省值分別為-1.0和1.0，所有二維物體的Z坐標(biāo)都為0.0。因此它的裁剪面是一個左下角點為（left，bottom）、右上角點為（right，top）的矩形。

（四）視口變換。

　　視口變換就是將視景體內(nèi)投影的物體顯示在二維的視口平面上。運用相機模擬方式，我們很容易理解視口變換就是類似于照片的放大與縮小。在計算機圖形學(xué)中，它的定義是將經(jīng)過幾何變換、投影變換和裁剪變換后的物體顯示于屏幕窗口內(nèi)指定的區(qū)域內(nèi)，這個區(qū)域通常為矩形，稱為視口。OpenGL中相關(guān)函數(shù)是：

glViewport(GLint x,GLint y,GLsizei width, GLsizei height);

　　這個函數(shù)定義一個視口。函數(shù)參數(shù)(x, y)是視口在屏幕窗口坐標(biāo)系中的左下角點坐標(biāo)，參數(shù)width和height分別是視口的寬度和高度。缺省時，參數(shù)值即(0, 0, winWidth, winHeight) 指的是屏幕窗口的實際尺寸大小。所有這些值都是以象素為單位，全為整型數(shù)。

　?。?）裁剪變換

　　在OpenGL中，除了視景體定義的六個裁剪平面（上、下、左、右、前、后）外，用戶還可自己再定義一個或多個附加裁剪平面，以去掉場景中無關(guān)的目標(biāo)，如圖六所示。

圖六、附加裁剪平面

　　附加平面裁剪函數(shù)為：

　　1、void glClipPlane(GLenum plane,Const GLdouble *equation);

　　函數(shù)參數(shù)equation指向一個擁有四個系數(shù)值的數(shù)組，這四個系數(shù)分別是裁剪平面Ax+By+Cz+D=0的A、B、C、D值。因此，由這四個系數(shù)就能確定一個裁剪平面。參數(shù)plane是GL_CLIP_PLANEi(i=0,1,...)，指定裁剪面號。

　　在調(diào)用附加裁剪函數(shù)之前，必須先啟動glEnable(GL_CLIP_PLANEi)，使得當(dāng)前所定義的裁剪平面有效；當(dāng)不再調(diào)用某個附加裁剪平面時，可用glDisable(GL_CLIP_PLANEi)關(guān)閉相應(yīng)的附加裁剪功能。

　　下面這個例子不僅說明了附加裁剪函數(shù)的用法，而且調(diào)用了gluPerspective()透視投影函數(shù)，讀者可以細細體會其中的用法。例程如下：

#include "glos.h" 　　#include <GL/gl.h> 　　#include <GL/glu.h> 　　#include <GL/glaux.h> 　　void myinit(void); 　　void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h); 　　void CALLBACK display(void); 　　void CALLBACK display(void) 　　{ 　　　　GLdouble eqn[4] = {1.0, 0.0, 0.0, 0.0}; 　　　　glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT); 　　　　glColor3f (1.0, 0.0, 1.0); 　　　　glPushMatrix(); 　　　　glTranslatef (0.0, 0.0, -5.0); 　　　　/* clip the left part of wire_sphere : x<0 */ 　　　　glClipPlane (GL_CLIP_PLANE0, eqn); 　　　　glEnable (GL_CLIP_PLANE0); 　　　　glRotatef (-90.0, 1.0, 0.0, 0.0); 　　　　auxWireSphere(1.0); 　　　　glPopMatrix(); 　　　　glFlush(); 　　} 　　void myinit (void) 　　{ 　　　　glShadeModel (GL_FLAT); 　　} 　　void CALLBACK myReshape(GLsizei w, GLsizei h) 　　{ 　　　　glViewport(0, 0, w, h); 　　　　glMatrixMode(GL_PROJECTION); 　　　　glLoadIdentity(); 　　　 gluPerspective(60.0, (GLfloat) w/(GLfloat) h, 1.0, 20.0); 　　　　glMatrixMode(GL_MODELVIEW); 　　} 　　void main(void) 　　{ 　　　　auxInitDisplayMode (AUX_SINGLE | AUX_RGB); 　　　　auxInitPosition (0, 0, 500, 500); 　　　　auxInitWindow ("Arbitrary Clipping Planes"); 　　　　myinit (); 　　　　auxReshapeFunc (myReshape); 　　　　auxMainLoop(display); 　　}

（六）矩陣棧的操作

　　在講述矩陣棧之前，首先介紹兩個基本OpenGL矩陣操作函數(shù)：

　　1、void glLoadMatrix{fd}(const TYPE *m)

　　設(shè)置當(dāng)前矩陣中的元素值。函數(shù)參數(shù)*m是一個指向16個元素(m0, m1, ..., m15)的指針，這16個元素就是當(dāng)前矩陣M中的元素，其排列方式如下：

M = | m0 m4 m8　m12 |
　　| m1 m5 m9　m13 |
　　| m2 m6 m10 m14 |
　　| m3 m7 m11 M15 |

　　2、void glMultMatrix{fd}(const TYPE *m)

　　用當(dāng)前矩陣去乘*m所指定的矩陣，并將結(jié)果存放于*m中。當(dāng)前矩陣可以是用glLoadMatrix() 指定的矩陣，也可以是其它矩陣變換函數(shù)的綜合結(jié)果。

　　OpenGL的矩陣堆棧指的就是內(nèi)存中專門用來存放矩陣數(shù)據(jù)的某塊特殊區(qū)域。一般說來，矩陣堆棧常用于構(gòu)造具有繼承性的模型，即由一些簡單目標(biāo)構(gòu)成的復(fù)雜模型。矩陣堆棧對復(fù)雜模型運動過程中的多個變換操作之間的聯(lián)系與獨立十分有利。因為所有矩陣操作函數(shù)如glLoadMatrix()、glMultMatrix()、glLoadIdentity()等只處理當(dāng)前矩陣或堆棧頂部矩陣，這樣堆棧中下面的其它矩陣就不受影響。堆棧操作函數(shù)有以下兩個：

　　·void glPushMatrix(void);

　　該函數(shù)表示將所有矩陣依次壓入堆棧中，頂部矩陣是第二個矩陣的備份；壓入的矩陣數(shù)不能太多，否則出錯。

　　·void glPopMatrix(void);

　　該函數(shù)表示彈出堆棧頂部的矩陣，令原第二個矩陣成為頂部矩陣，接受當(dāng)前操作，故原頂部矩陣被破壞；當(dāng)堆棧中僅存一個矩陣時，不能進行彈出操作，否則出錯。

基于VC++的OpenGL編程講座之坐標(biāo)變換