B 樹、 B- 樹、 B+ 樹、 B* 樹都是什么

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B 樹

?????? 即二叉搜索樹：

?????? 1. 所有非葉子結點至多擁有兩個兒子（ Left 和 Right ）；

?????? 2. 所有結點存儲一個關鍵字；

?????? 3. 非葉子結點的左指針指向小于其關鍵字的子樹，右指針指向大于其關鍵字的子樹；

?????? 如：

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?????? B 樹的搜索，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點的關鍵字相等，那么就命中；否則，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，就進入左兒子；如果比結點關鍵字大，就進入右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報告找不到相應的關鍵字；

?????? 如果 B 樹的所有非葉子結點的左右子樹的結點數目均保持差不多（平衡），那么 B 樹的搜索性能逼近二分查找；但它比連續內存空間的二分查找的優點是，改變 B 樹結構（插入與刪除結點）不需要移動大段的內存數據，甚至通常是常數開銷；

?????? 如：

??????

???但 B 樹在經過多次插入與刪除后，有可能導致不同的結構：

?? 右邊也是一個 B 樹，但它的搜索性能已經是線性的了；同樣的關鍵字集合有可能導致不同的樹結構索引；所以，使用 B 樹還要考慮盡可能讓 B 樹保持左圖的結構，和避免右圖的結構，也就是所謂的“平衡”問題； ??????

?????? 實際使用的 B 樹都是在原 B 樹的基礎上加上平衡算法，即“平衡二叉樹”；如何保持 B 樹結點分布均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關鍵；平衡算法是一種在 B 樹中插入和刪除結點的策略；

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B- 樹

?????? 是一種多路搜索樹（并不是二叉的）：

?????? 1. 定義任意非葉子結點最多只有 M 個兒子；且 M>2 ；

?????? 2. 根結點的兒子數為 [2, M] ；

?????? 3. 除根結點以外的非葉子結點的兒子數為 [M/2, M] ；

?????? 4. 每個結點存放至少 M/2-1 （取上整）和至多 M-1 個關鍵字；（至少 2 個關鍵字）

?????? 5. 非葉子結點的關鍵字個數 = 指向兒子的指針個數 -1 ；

?????? 6. 非葉子結點的關鍵字： K[1], K[2], …, K[M-1] ；且 K[i] < K[i+1] ；

?????? 7. 非葉子結點的指針： P[1], P[2], …, P[M] ；其中 P[1] 指向關鍵字小于 K[1] 的子樹， P[M] 指向關鍵字大于 K[M-1] 的子樹，其它 P[i] 指向關鍵字屬于 (K[i-1], K[i]) 的子樹；

?????? 8. 所有葉子結點位于同一層；

?????? 如：（ M=3 ）

?????? B- 樹的搜索，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查找，如果命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬范圍的兒子結點；重復，直到所對應的兒子指針為空，或已經是葉子結點；

B- 樹的特性：

?????? 1. 關鍵字集合分布在整顆樹中；

?????? 2. 任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；

?????? 3. 搜索有可能在非葉子結點結束；

?????? 4. 其搜索性能等價于在關鍵字全集內做一次二分查找；

?????? 5. 自動層次控制；

?????? 由于限制了除根結點以外的非葉子結點，至少含有 M/2 個兒子，確保了結點的至少利用率，其最底搜索性能為：

????

?????? 其中， M 為設定的非葉子結點最多子樹個數， N 為關鍵字總數；

?????? 所以 B- 樹的性能總是等價于二分查找（與 M 值無關），也就沒有 B 樹平衡的問題；

?????? 由于 M/2 的限制，在插入結點時，如果結點已滿，需要將結點分裂為兩個各占 M/2 的結點；刪除結點時，需將兩個不足 M/2 的兄弟結點合并；

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B+ 樹

?????? B+ 樹是 B- 樹的變體，也是一種多路搜索樹：

?????? 1. 其定義基本與 B- 樹同，除了：

?????? 2. 非葉子結點的子樹指針與關鍵字個數相同；

?????? 3. 非葉子結點的子樹指針 P[i] ，指向關鍵字值屬于 [K[i], K[i+1]) 的子樹（ B- 樹是開區間）；

?????? 5. 為所有葉子結點增加一個鏈指針；

?????? 6. 所有關鍵字都在葉子結點出現；

?????? 如：（ M=3 ）

?? B+ 的搜索與 B- 樹也基本相同，區別是 B+ 樹只有達到葉子結點才命中（ B- 樹可以在非葉子結點命中），其性能也等價于在關鍵字全集做一次二分查找；

?????? B+ 的特性：

?????? 1. 所有關鍵字都出現在葉子結點的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關鍵字恰好是有序的；

?????? 2. 不可能在非葉子結點命中；

?????? 3. 非葉子結點相當于是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當于是存儲（關鍵字）數據的數據層；

?????? 4. 更適合文件索引系統；

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B* 樹

?????? 是 B+ 樹的變體，在 B+ 樹的非根和非葉子結點再增加指向兄弟的指針；

?? B* 樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為 (2/3)*M ，即塊的最低使用率為 2/3 （代替 B+ 樹的 1/2 ）；

?????? B+ 樹的分裂：當一個結點滿時，分配一個新的結點，并將原結點中 1/2 的數據復制到新結點，最后在父結點中增加新結點的指針； B+ 樹的分裂只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指針；

?????? B* 樹的分裂：當一個結點滿時，如果它的下一個兄弟結點未滿，那么將一部分數據移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最后修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，并各復制 1/3 的數據到新結點，最后在父結點增加新結點的指針；

?????? 所以， B* 樹分配新結點的概率比 B+ 樹要低，空間使用率更高；

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小結

?????? B 樹：二叉樹，每個結點只存儲一個關鍵字，等于則命中，小于走左結點，大于走右結點；

?????? B- 樹：多路搜索樹，每個結點存儲 M/2 到 M 個關鍵字，非葉子結點存儲指向關鍵字范圍的子結點；

?????? 所有關鍵字在整顆樹中出現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；

?????? B+ 樹：在 B- 樹基礎上，為葉子結點增加鏈表指針，所有關鍵字都在葉子結點中出現，非葉子結點作為葉子結點的索引； B+ 樹總是到葉子結點才命中；

?????? B* 樹：在 B+ 樹基礎上，為非葉子結點也增加鏈表指針，將結點的最低利用率從 1/2 提高到 2/3 ；

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原文地址： http://www.cublog.cn/u/14468/showart_441875.html