B 樹、 B- 樹、 B+ 樹、 B* 樹都是什么

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B 樹

?????? 即二叉搜索樹：

?????? 1. 所有非葉子結(jié)點(diǎn)至多擁有兩個(gè)兒子（ Left 和 Right ）；

?????? 2. 所有結(jié)點(diǎn)存儲一個(gè)關(guān)鍵字；

?????? 3. 非葉子結(jié)點(diǎn)的左指針指向小于其關(guān)鍵字的子樹，右指針指向大于其關(guān)鍵字的子樹；

?????? 如：

???????

?????? B 樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，如果查詢的關(guān)鍵字與結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字相等，那么就命中；否則，如果查詢關(guān)鍵字比結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字小，就進(jìn)入左兒子；如果比結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字大，就進(jìn)入右兒子；如果左兒子或右兒子的指針為空，則報(bào)告找不到相應(yīng)的關(guān)鍵字；

?????? 如果 B 樹的所有非葉子結(jié)點(diǎn)的左右子樹的結(jié)點(diǎn)數(shù)目均保持差不多（平衡），那么 B 樹的搜索性能逼近二分查找；但它比連續(xù)內(nèi)存空間的二分查找的優(yōu)點(diǎn)是，改變 B 樹結(jié)構(gòu)（插入與刪除結(jié)點(diǎn)）不需要移動大段的內(nèi)存數(shù)據(jù)，甚至通常是常數(shù)開銷；

?????? 如：

??????

???但 B 樹在經(jīng)過多次插入與刪除后，有可能導(dǎo)致不同的結(jié)構(gòu)：

?? 右邊也是一個(gè) B 樹，但它的搜索性能已經(jīng)是線性的了；同樣的關(guān)鍵字集合有可能導(dǎo)致不同的樹結(jié)構(gòu)索引；所以，使用 B 樹還要考慮盡可能讓 B 樹保持左圖的結(jié)構(gòu)，和避免右圖的結(jié)構(gòu)，也就是所謂的“平衡”問題； ??????

?????? 實(shí)際使用的 B 樹都是在原 B 樹的基礎(chǔ)上加上平衡算法，即“平衡二叉樹”；如何保持 B 樹結(jié)點(diǎn)分布均勻的平衡算法是平衡二叉樹的關(guān)鍵；平衡算法是一種在 B 樹中插入和刪除結(jié)點(diǎn)的策略；

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B- 樹

?????? 是一種多路搜索樹（并不是二叉的）：

?????? 1. 定義任意非葉子結(jié)點(diǎn)最多只有 M 個(gè)兒子；且 M>2 ；

?????? 2. 根結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為 [2, M] ；

?????? 3. 除根結(jié)點(diǎn)以外的非葉子結(jié)點(diǎn)的兒子數(shù)為 [M/2, M] ；

?????? 4. 每個(gè)結(jié)點(diǎn)存放至少 M/2-1 （取上整）和至多 M-1 個(gè)關(guān)鍵字；（至少 2 個(gè)關(guān)鍵字）

?????? 5. 非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字個(gè)數(shù) = 指向兒子的指針個(gè)數(shù) -1 ；

?????? 6. 非葉子結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字： K[1], K[2], …, K[M-1] ；且 K[i] < K[i+1] ；

?????? 7. 非葉子結(jié)點(diǎn)的指針： P[1], P[2], …, P[M] ；其中 P[1] 指向關(guān)鍵字小于 K[1] 的子樹， P[M] 指向關(guān)鍵字大于 K[M-1] 的子樹，其它 P[i] 指向關(guān)鍵字屬于 (K[i-1], K[i]) 的子樹；

?????? 8. 所有葉子結(jié)點(diǎn)位于同一層；

?????? 如：（ M=3 ）

?????? B- 樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，對結(jié)點(diǎn)內(nèi)的關(guān)鍵字（有序）序列進(jìn)行二分查找，如果命中則結(jié)束，否則進(jìn)入查詢關(guān)鍵字所屬范圍的兒子結(jié)點(diǎn)；重復(fù)，直到所對應(yīng)的兒子指針為空，或已經(jīng)是葉子結(jié)點(diǎn)；

B- 樹的特性：

?????? 1. 關(guān)鍵字集合分布在整顆樹中；

?????? 2. 任何一個(gè)關(guān)鍵字出現(xiàn)且只出現(xiàn)在一個(gè)結(jié)點(diǎn)中；

?????? 3. 搜索有可能在非葉子結(jié)點(diǎn)結(jié)束；

?????? 4. 其搜索性能等價(jià)于在關(guān)鍵字全集內(nèi)做一次二分查找；

?????? 5. 自動層次控制；

?????? 由于限制了除根結(jié)點(diǎn)以外的非葉子結(jié)點(diǎn)，至少含有 M/2 個(gè)兒子，確保了結(jié)點(diǎn)的至少利用率，其最底搜索性能為：

????

?????? 其中， M 為設(shè)定的非葉子結(jié)點(diǎn)最多子樹個(gè)數(shù)， N 為關(guān)鍵字總數(shù)；

?????? 所以 B- 樹的性能總是等價(jià)于二分查找（與 M 值無關(guān)），也就沒有 B 樹平衡的問題；

?????? 由于 M/2 的限制，在插入結(jié)點(diǎn)時(shí)，如果結(jié)點(diǎn)已滿，需要將結(jié)點(diǎn)分裂為兩個(gè)各占 M/2 的結(jié)點(diǎn)；刪除結(jié)點(diǎn)時(shí)，需將兩個(gè)不足 M/2 的兄弟結(jié)點(diǎn)合并；

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B+ 樹

?????? B+ 樹是 B- 樹的變體，也是一種多路搜索樹：

?????? 1. 其定義基本與 B- 樹同，除了：

?????? 2. 非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹指針與關(guān)鍵字個(gè)數(shù)相同；

?????? 3. 非葉子結(jié)點(diǎn)的子樹指針 P[i] ，指向關(guān)鍵字值屬于 [K[i], K[i+1]) 的子樹（ B- 樹是開區(qū)間）；

?????? 5. 為所有葉子結(jié)點(diǎn)增加一個(gè)鏈指針；

?????? 6. 所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點(diǎn)出現(xiàn)；

?????? 如：（ M=3 ）

?? B+ 的搜索與 B- 樹也基本相同，區(qū)別是 B+ 樹只有達(dá)到葉子結(jié)點(diǎn)才命中（ B- 樹可以在非葉子結(jié)點(diǎn)命中），其性能也等價(jià)于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找；

?????? B+ 的特性：

?????? 1. 所有關(guān)鍵字都出現(xiàn)在葉子結(jié)點(diǎn)的鏈表中（稠密索引），且鏈表中的關(guān)鍵字恰好是有序的；

?????? 2. 不可能在非葉子結(jié)點(diǎn)命中；

?????? 3. 非葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是葉子結(jié)點(diǎn)的索引（稀疏索引），葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是存儲（關(guān)鍵字）數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)層；

?????? 4. 更適合文件索引系統(tǒng)；

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B* 樹

?????? 是 B+ 樹的變體，在 B+ 樹的非根和非葉子結(jié)點(diǎn)再增加指向兄弟的指針；

?? B* 樹定義了非葉子結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個(gè)數(shù)至少為 (2/3)*M ，即塊的最低使用率為 2/3 （代替 B+ 樹的 1/2 ）；

?????? B+ 樹的分裂：當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)滿時(shí)，分配一個(gè)新的結(jié)點(diǎn)，并將原結(jié)點(diǎn)中 1/2 的數(shù)據(jù)復(fù)制到新結(jié)點(diǎn)，最后在父結(jié)點(diǎn)中增加新結(jié)點(diǎn)的指針； B+ 樹的分裂只影響原結(jié)點(diǎn)和父結(jié)點(diǎn)，而不會影響兄弟結(jié)點(diǎn)，所以它不需要指向兄弟的指針；

?????? B* 樹的分裂：當(dāng)一個(gè)結(jié)點(diǎn)滿時(shí)，如果它的下一個(gè)兄弟結(jié)點(diǎn)未滿，那么將一部分?jǐn)?shù)據(jù)移到兄弟結(jié)點(diǎn)中，再在原結(jié)點(diǎn)插入關(guān)鍵字，最后修改父結(jié)點(diǎn)中兄弟結(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字（因?yàn)樾值芙Y(jié)點(diǎn)的關(guān)鍵字范圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結(jié)點(diǎn)與兄弟結(jié)點(diǎn)之間增加新結(jié)點(diǎn)，并各復(fù)制 1/3 的數(shù)據(jù)到新結(jié)點(diǎn)，最后在父結(jié)點(diǎn)增加新結(jié)點(diǎn)的指針；

?????? 所以， B* 樹分配新結(jié)點(diǎn)的概率比 B+ 樹要低，空間使用率更高；

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小結(jié)

?????? B 樹：二叉樹，每個(gè)結(jié)點(diǎn)只存儲一個(gè)關(guān)鍵字，等于則命中，小于走左結(jié)點(diǎn)，大于走右結(jié)點(diǎn)；

?????? B- 樹：多路搜索樹，每個(gè)結(jié)點(diǎn)存儲 M/2 到 M 個(gè)關(guān)鍵字，非葉子結(jié)點(diǎn)存儲指向關(guān)鍵字范圍的子結(jié)點(diǎn)；

?????? 所有關(guān)鍵字在整顆樹中出現(xiàn)，且只出現(xiàn)一次，非葉子結(jié)點(diǎn)可以命中；

?????? B+ 樹：在 B- 樹基礎(chǔ)上，為葉子結(jié)點(diǎn)增加鏈表指針，所有關(guān)鍵字都在葉子結(jié)點(diǎn)中出現(xiàn)，非葉子結(jié)點(diǎn)作為葉子結(jié)點(diǎn)的索引； B+ 樹總是到葉子結(jié)點(diǎn)才命中；

?????? B* 樹：在 B+ 樹基礎(chǔ)上，為非葉子結(jié)點(diǎn)也增加鏈表指針，將結(jié)點(diǎn)的最低利用率從 1/2 提高到 2/3 ；

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原文地址： http://www.cublog.cn/u/14468/showart_441875.html