? 在時間序列中，我們需要基于該時間序列當前已有的數(shù)據(jù)來預測其在之后的走勢，三次指數(shù)平滑(Triple/Three Order Exponential Smoothing,Holt-Winters)算法可以很好的進行時間序列的預測。

? 時間序列數(shù)據(jù)一般有以下幾種特點：1.趨勢(Trend) ?2. 季節(jié)性(Seasonality)。

? 趨勢描述的是時間序列的整體走勢，比如總體上升或者總體下降。下圖所示的時間序列是總體上升的：

? 季節(jié)性描述的是數(shù)據(jù)的周期性波動，比如以年或者周為周期，如下圖：

? 三次指數(shù)平滑算法可以對同時含有趨勢和季節(jié)性的時間序列進行預測，該算法是基于一次指數(shù)平滑和二次指數(shù)平滑算法的。

? 一次指數(shù)平滑算法 基于以下的遞推關(guān)系：

? si=αx _i +(1-α)s _i-1?

? 其中α是 平滑參數(shù) ，s _i 是之前i個數(shù)據(jù)的平滑值，取值為[0,1]，α越接近1，平滑后的值越接近當前時間的數(shù)據(jù)值，數(shù)據(jù)越不平滑，α越接近0，平滑后的值越接近前i個數(shù)據(jù)的平滑值，數(shù)據(jù)越平滑，α的值通常可以多嘗試幾次以達到最佳效果。

? 一次指數(shù)平滑算法進行預測的公式為：x _i+h =s _i ，其中i為當前最后的一個數(shù)據(jù)記錄的坐標，亦即預測的時間序列為一條直線，不能反映時間序列的趨勢和季節(jié)性。

? 二次指數(shù)平滑 保留了趨勢的信息，使得預測的時間序列可以包含之前數(shù)據(jù)的趨勢。二次指數(shù)平滑通過添加一個新的變量t來表示平滑后的趨勢：

? s _i =αx _i +(1-α)(s _i-1 +t _i-1 )

? t _i =?(s _i -s _i-1 )+(1-?)t _i-1

? 二次指數(shù)平滑的預測公式為 ?x _i+h =s _i +ht _{i ?} 二次指數(shù)平滑的預測結(jié)果是一條斜的直線。

? 三次指數(shù)平滑在二次指數(shù)平滑的基礎(chǔ)上保留了季節(jié)性的信息，使得其可以預測帶有季節(jié)性的時間序列。三次指數(shù)平滑添加了一個新的參數(shù)p來表示平滑后的趨勢。

? 三次指數(shù)平滑有累加和累乘兩種方法，下面是累加的三次指數(shù)平滑

??s _i =α(x _i- p _i-k )+(1-α)(s _i-1 +t _i-1 )

? t _i =?(s _i -s _i-1 )+(1-?)t _i-1

? p _i =γ(x _i -s _i )+(1-γ)p _i-k ?其中k為周期

? 累加三次指數(shù)平滑的預測公式為： x _i+h =s _i +ht _i +p _{i-k+(h mod k)} ? 注意：數(shù)據(jù)之魅P88此處有錯誤，根據(jù)Wikipedia修正。

? 下式為累乘的三次指數(shù)平滑：

?s _i =αx _i /p _i-k +(1-α)(s _i-1 +t _i-1 )

? t _i =?(s _i -s _i-1 )+(1-?)t _i-1

? p _i =γx _i /s _i +(1-γ)p _i-k ??其中k為周期

? 累乘三次指數(shù)平滑的預測公式為： x _i+h =(s _i +ht _i )p _{i-k+(h mod k)} ? ?注意：數(shù)據(jù)之魅P88此處有錯誤，根據(jù)Wikipedia修正。

? α，?，γ的值都位于[0,1]之間，可以多試驗幾次以達到最佳效果。

? s,t,p初始值的選取對于算法整體的影響不是特別大，通常的取值為s ₀ =x ₀ ,t ₀ =x ₁ -x ₀ ,累加時p=0,累乘時p=1.

_? ?我們使用DataMarket的International Airline Passengers數(shù)據(jù)來測試累加和累乘三次指數(shù)平滑算法的性能，該數(shù)據(jù)記錄的是每月的國際航線乘客數(shù)：

_? ?下圖為使用累加三次指數(shù)平滑進行預測的效果：其中紅色為源時間序列，藍色為預測的時間序列，α，?，γ的取值為0.45，0.2，0.95：

? 下圖為累乘三次指數(shù)平滑進行預測的效果，α，?，γ的取值為0.4，0.05，0.9：

? 可以看到三次指數(shù)平滑算法可以很好的保存時間序列數(shù)據(jù)的趨勢和季節(jié)性信息，在International Airline Passengers數(shù)據(jù)集上累乘平滑指數(shù)算法的效果更好。

參考文獻：

? [1]. 數(shù)據(jù)之魅：基于開源工具的數(shù)據(jù)分析

? [2]. DataMarket: International Airline Passengers

? [3]. Wikipedia: Exponential Smoothing?

時間序列挖掘-預測算法-三次指數(shù)平滑法(Holt-Winters)