數學對歷史的兩次推動

這篇文章到底要怎么下筆，我想了很久，最后還是認為該從歷史談起。西方有
一句形容古板學究的話，叫做言必稱希臘。好吧就讓我們從頭談起吧，從這個科學

皇后在希臘當黃毛丫頭的場景開始吧。

埃及的亞歷山大城自公元前三百年左右就有了世界上第一所大學，第一座圖
書館。歐洲的戰亂并沒有怎么波及到這里，所以這里也成了當時西方世界第一流學

者的天堂。就是在羅馬征服埃及以后，學術傳統仍然被保留下來。當時的羅馬皇帝

在各行省征 苛稅，但對其它方面并沒有干涉的興趣。在科學和文學?，征服者是
崇拜希臘人的。羅馬士兵在戰亂中殺死了阿基米德，當時的統帥Marcellus垂胸頓
足，后悔莫及。后Henllenistic時期學術氣氛仍算是寬松，Apollonius系統地研究

了圓錐曲線，托勒密等人對三角學推動很大，而丟番圖提出的問題至今仍是純數學

中的難題。

主歷三二五年，羅馬康斯坦丁大帝接受基督教為國教。那時希臘的最后一塊屬
地埃及也已經陷落三百五十五年了。從這以后曾經備受壓迫的基督教（天主教）開

始成為壓迫異端的急先鋒。公元四七六年，西羅馬帝國在北方各蠻族的不斷打擊下

毀滅。但是就象入侵并占領了漢族中國的滿族人最終被同化一樣，強大的基督教戰勝

了羅馬兵團所沒有戰勝的敵人----古羅馬帝國垮掉了，他們的宗教思想卻獲得了前

所未有的勝利，基督的威勢在歐洲的每一個角落建立起來。公元五二九年，在狂熱

的天主教信徒不斷的壓力下，雅典學院因轉播異端思想被關閉。在此之前亞歷山大

大學和圖書館已經焚毀，整個古希臘數學時期就此結束了。

從此中世紀的陰影就一直在 分 籠罩了一千年左右。要等到一五一七年馬丁路
德在維滕貝格發表反贖罪券的《九十五條論綱》正式向教皇挑戰并成為新教創始人

后歐洲的宗教壟斷才被打破。在路德改宗前歐洲還發生了一些影響世界的大事情。

一四九二年一個叫克里斯托弗·哥倫布的意大利人發現了一個他稱之為印度的龐大

新世界，以后各國特別是英倫三島受宗教的人們就找到了一個棲身之地，在這

之前在繁榮的意大利已經開始了文藝復興，各種各樣的新思潮和新技術伴隨著新的

資本都在蠢蠢欲動。

這時候還有一些不是那么為正史所看中的人物在另外一個世界，一個只有靠人
類抽象的思辯才能夠達到的世界里努力地耕耘著。他們是伽利略，開普勒，哥白尼

，帕斯卡，笛卡爾，萊布尼茲，牛頓..... 特別是牛頓和萊布尼茲所發現的微機分

，整個地改寫了科學史。通過數學工具的極大改進，一系列原本用初等方法無從下

手的問題迎刃而解。一個對社會的影響當然是提高了當時的生產力的需求，從而孕

育出最終埋葬神權和君權的資產階級，另外一個更加直接的影響卻是從天文學上來

的。這個天文學在中世紀經院哲學里占了相當大的比重，因為按照基督教教義，天

體是天使和圣靈運行的軌跡，是完美的。天是圓的，地球在這個圓的最中心。當這

些觀念被科學一個個地打破以后，教皇的權威，甚至說圣經本身的權威，才真正受

到了根本性的沖擊。對于牛頓到底有多重要，下面這收詩大概可以反映一下吧：

"Nature and Nature's laws lay hid in night;
God said, 'let Newton be,' and all was light."[1]

信仰這個東西是非常奇怪的。和狂熱的信徒談天你會發現你幾乎無法用另一套
信仰來改變他。這不僅僅是幾百上千年以前中世紀的事，也不是只有西方民族或者

有宗教的地方才有。今天的朝鮮和昨天的民柬在信仰狂熱的程度上絕不亞于費迪南

德和伊沙貝拉治下的西班牙。畢竟在那里宗 灘門興 三個半世紀才燒死了三萬兩千

人，加上其他刑罰處死和間接死亡的，不過百萬之數吧，而他們在亞洲的同仁們卻

在短短的幾十年內就達到了這個目標。其實就在幾十年前我們的國家在思想領域又

何嘗不是如此？七八年說出了一句"實踐是檢驗真理的唯一標準"，沒過多
久全國人民突然就發現了過去的荒謬----怎么會是那樣呢？怎么會那么笨呢？在這

里皇帝的新衣一旦被揭下，謊言就變得一錢不值。今天的西方世界在回想起中世紀

的一幕幕場景時恐怕也和我們一樣會覺得荒謬大于恐懼吧，為什么當時的人們會為

對圣經上某一句話的不同解釋如此憤怒，以至于非要把同樣是信奉上帝的兄弟姐妹

送上火刑架呢？甚至在英國有很長一段時間里竟然要在全國找最美麗的女人來燒死

，只因為當時那里的神學家確信這些美人是撒旦的化身！

路德和加爾文站起來挑戰羅馬教皇的權威了，但丁更早些在《神曲》里把教皇
判入了地獄，但是人們很快就發現，單憑文學和神學的革命并不能夠改變上帝獨一

無二的地位，人本主義并沒有因為《神曲》而成為主流。甚至新教首領加爾文在教

皇鞭長莫及的日內瓦還燒死了塞爾維特，而且足足把他烤了兩個小時。歷史的車輪

似乎又在向著循環往復的軌道上滑去。靠神學本身的辯論只能夠產生新的神學；靠

文學的啟蒙可以產生懷疑，卻無法最后戰勝神學；靠地理上的發現可以解決一時的

壓迫，但是一個清教徒的天堂依然讓人們嗅到了舊世界信仰之爭的味道；靠美學
----達·芬奇的名作并沒有改變天主教堂的圖案，再說這世上還有比那些送上火刑

架的"撒旦"更美的作品么？

只有真實和時間，才是戰勝精神強權的終極力量。西方有一句話，說是（強權
）可以短時間欺騙所有人，也可以永遠欺騙一些人，但是它不能永遠欺騙所有人。

象317是個素數這樣的真實，就是再堅強的神學信仰也只有在這個事實面前底頭。
而物質生活的真實呢，一旦產業革命的機器開動起來，田園詩似的貴族們又如何抵

擋呢？打敗舊制度的歸根到底是靠以微機分為代表的理性擊敗了神學和以機器為代

表的新生產力戰勝了貴族勢力。如果沒有這些，一切革命都將重復類似于中國農民

革命的老路。

牛頓和他之后一個世紀的科學家們生活在一個背靠絕對真理挑戰世俗神權和政
權的偉大時代。在馬斯頓荒原，英國革命軍戰勝了保王黨的勢力；在美洲，八

年艱苦的奮戰打跑了日不落帝國的總督；在巴黎，第三等級廢除了歐洲最頑固的君

主制。在那個時期的主流科學家頭腦里，一個來源與物質世界，卻又比它更加完美

的理性取代了華麗的拉丁文圣經。人作為上帝的影子的日子過去了，任何權勢在真

理面前必須是平等的。微機分之后的科學文明中心在法國。那時全歐的人文主義旗

幟在以狄德羅和達郎貝爾為首的法國百科全書派學者手里。達郎貝爾對發展方程，

函數論和代數都有重大貢獻，他有一句名言："代數是慷慨的，你從她那里得的總
是比你想要的多"，另外他還說過，"幾何上的真理是物理真理的漸進形式，就是
說后者無窮地逼近前者但卻永不相交"[2]，這大概更加接近現代科學家們的想法
吧。

時間就這樣一點一點卻又是無可抗拒地從中世紀走到了十九世紀末。科學學飛
速地發展著，正如當時的資本主義一樣。神權和君權一點一點地退出了舞臺，科學

和經濟的力量似乎已經取得了全面的勝利。"上帝死了"，人作為主體出現在那個
喧囂的世界。"這是一個最好的時代，這是一個最糟的時代"[3]。世界似乎是永
無休止地被開采著，人幾乎可以憑機器做到一切想做的事。在自然科學上，一個與

這種自大相對應的是在那時，主流物理學家們認為這個世界的規律已經被發現完畢

了。一九零零年，英國的開爾文勛爵在皇家學會的新年致辭中自負地宣稱，物理學

的大廈已經完成，今后物理學家的任務只是把實驗做得更精確些（當然那時他并沒

有料到，他眼中小小的"兩朵烏云"--黑體輻射的理論解釋和邁克爾遜--莫雷
實驗對以太觀念的沖擊--引起了現代物理學翻天覆地的變化）。自然的，社會的
終極真理似乎就在人們手邊。隨后文明世界卻遭到了空前的打擊，那就是兩次世界

大戰。在那些年現實中的文明世界秩序已經在意大利，德國國家社會主義和日本軍

國主義的沖擊下蕩然無存了。

兩次次世界大戰，全人類為此付出了近億生命的代價。科學的標志既不是體現
在治病救人的青霉素上，也不是體現在純粹數學和理論物理的完美結合廣義相對論

上，而是體現在可以一次毀滅一個城市的原子彈上。西方人文主義的傳統讓位于民

族主義和意識形態，二戰后東西方兩大陣營相互敵對，勢不兩立。社會主義陣營的

故事我就不說了，美國的麥卡錫先生對美國（毋寧說是同情的左派知

識分子）的也足以名垂青史。與中世紀不同的是，現在沒有一個極權愚蠢到敢

于宣稱科學在自己之下了，相反地這個權力為了強調自己的正確性合法性，往往宣

稱自己是"科學"的。就算它還要知識分子，也是用別的方法來進行。這種迫
害進行的方法說來也很簡單，那就是先宣稱自己是科學和正確的化身，然后讓每一

個公民都相信，不"科學"不"正確"的人或者思想就必須予以消滅。最后給異端
貼標簽的工作就比較容易了，各個不同的國家自有不同的方法和習慣。

好吧再讓我們回到數學吧，回到這個比現實世界優美的避難所吧。讓我們從本
世紀的最初看看數學的發展。在這一時期，數學學上出了一件大事。這件事在正史

中當然沒有推倒柏林墻那么重要，但是其內在的意義，也許將比那個政治事件更能

讓我們的后代共鳴。

德國數學家希爾伯特于一九零零年在巴黎國際數學家代表大會上作了一次演講
[4]。在演講中希爾伯特提出了二十三個公開問題，這些問題后來主宰了二十世紀
（至少是前五十年）的數學研究，幾乎所有的第一流數學家都在為攻克這些難題而

奮斗。在這次著名的演講中，他還說到：".....每一個確定的數學問題，.....無
論這些問題在我們看來多么難以解決，無論在這些問題面前我們顯得多么無能為力

，我們仍然堅定地相信，它們的解答一定能夠通過有限步純邏輯推理而得到。"這
一說法后來被稱之為希爾伯特綱領，是人類可以解決一切問題在 看饉 辯領域的縮

減版本。這二十三個問題如今大部分已經被解決或者部分解決，剩下未被解決的問

題是如下幾個：

第二問題：算數公里體系的相容性；
第六問題：物理公理的數學處理；
第八問題：素數問題；
第十二問題：Abel域上的Kronecker定理的推廣。

這里面后兩個基本上是獨立的技巧性問題，而前兩個卻事關整個數學物理的基礎，

進而對整個人類科學和邏輯產生影響。我不是搞物理的，就物理公理的數學化不好

作深入的評論，但是這無疑是希爾伯特或者說任何一個相信希爾伯特綱領的科學家

的一個"野心"吧，先在數學領域建立起可以解決一切問題的信心，然后再把物理
數學化，進而推廣到一切人類的科學領域。就象運用數學歸納法時我們要證明兩件

事："對最基本的出發點成立；假設對n成立，證對n+1也成立"相仿，第六問題更
象是后一步，而第二問題則更象是前一步（的一個必要條件）。如果前一步走不通

，后一步也就失去了意義。

為了更好的說明問題，我想我不得不講點專業化的東西了。大家都知道所有的
自然數{1，2，.....}是個無窮集合，而且肯定也知道全體實數，通常記作R的也是

個無窮集合。直觀告訴我們，雖然都是無窮集合，后者比前者應該要"大"[5]。
數學怪才康托(Cantor）第一次給出了一個嚴格的證明，這個證明我想在實變函數
的第一章就可以找得到。康托還證明了一個和一般人直觀很不一致的結論，那就是

一個正方形或者正方體的點數和一條小得可憐的一維線段的點數是"一樣多"的。
這樣一來一個自然的問題就出來了：有沒有一種無窮大，它比自然數（數學上稱之

為可數集）的無窮大要大，卻又比實數（數學上稱之為連續統）的無窮大要小？這

就是有名的希爾伯特第一問題，連續統假設了。

一九六三年美國的Paul J. Cohen以一個大家都意想不到的方式解決了這個問
題：連續統假設和實數公理體系（Zermelo-Fraenkel公里系統）是相互獨立的，也

就是說，我們既不可以用實數公理來證明它，也不可能證偽！希爾伯特幸運地在這

個消息之前很早就去世了，但是不幸地是，在他逝世前十二年（一九三一年），一

個叫哥德爾[6]的年輕人已經徹底擊碎了他的理想：在任何一個數學體系里，一定
存在既不能夠被證明，也不能夠被證偽的命題[7]。那一年希爾伯特已年近七旬，
而哥德爾二十五歲。在這里理想國里老派學者的綱領被年輕人徹底給擊敗了。和我

們驕傲的宣言正好成對比的是，數學的真理讓我們知道我們永恒的無知。

時間似乎又回到了兩千年前的古希臘。蘇格拉底說："我唯一知道的是我的無
知。"兩千年來我們的智力不斷地在發展，我們的科學不斷地在完善，我們比起任
何一個時代都更有資格判斷對錯。我們甚至想要運用邏輯去證明一切事物都可以貼

上"正""誤"的標簽。然后達到一個正確的天堂。而這時數學又一次改變了人類
的哲學，當人們盲目地崇拜上帝時她用鋒利的矛挑戰神性，而當人們把"正確"當
做新的偶像來崇拜時，又是她告訴人們，人類任何對真理的認識總有不足，地上不

僅僅沒有神的天國，也沒有絕對真理的標準。只有對不同的哪怕是錯誤的思想的包

容并蓄，只有放下打擊"錯誤"的執著，憑著對異端的寬容，我們才能真正接近真
理。

*********

[1] 該詩為英國詩人亞歷山大·普伯(Alexander Pope)所作。
[2] 《An Introduction to the History of Mathematics》, Howard Eves
[3] 《雙城記》，狄更斯
[4] 《數學問題》，大衛·希爾伯特
[5] 這里的大小關系是按照基數等價類的方式來定義的。集合A和集合B等價指存在

一個映射f:A-->B, f是一一對應。而A"大于"B則是定義為存在A到B的滿射，但A
，B間不存在一一對應。
[6] 哥德爾的英文是Kurt Godel, 但是要在中間的"o"上加兩點。
[7] 這個結論也許太過于抽象了。Alan Turing（圖靈）后來把這個結論用到計算
數學上去，得到如下的結論：存在數和函數不能夠被任何logical machine（圖靈
機？）所計算。
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※ 來源:．鼓浪聽濤 bbs.xmu.edu.cn

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