征服無限--數(shù)學(xué)的力量

"所有的動物生而平等，但是有些比別的更平等[1]。"在數(shù)學(xué)里也一樣存在
這個現(xiàn)象。如果只是要合乎邏輯的話幾何可以有很多種，代數(shù)也一樣。就算動用美

學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)，也很難說我們的數(shù)學(xué)就比它的這些兄弟們更好一些。那為什么我們今天

見到的數(shù)學(xué)是這樣的而不是那樣的？我想，原因在于我們總是用現(xiàn)實世界的眼睛去

觀察和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)。歐氏幾何之所以有這樣的公理而不是別的，是因為它最符合當(dāng)時

人類對自然世界的觀察。這樣一來它就比別的幾何在數(shù)學(xué)里具有更高的地位，擁有

更多的關(guān)注。

偉大的蘇格拉底曾經(jīng)向普羅塔奇思(Protarchus)問道："是不是有兩種數(shù)學(xué)，
一種是平民百姓的，一種是哲學(xué)家的？.....（平民）在建筑和作買賣時運用的算
法和測量的技術(shù)與哲學(xué)家們的（歐氏）幾何和極為精細的計算比較如何--我的意
思是，它們是一種還是兩種？"
普羅塔奇思：".....我認為是兩種"。[2]

這段對話其實反映出數(shù)學(xué)自降生以來，就被分成從目標(biāo)上來說截然不同的兩部
分：純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)。我認為這種分類并不能嚴格地從內(nèi)容上進行，比如說屬

于應(yīng)用數(shù)學(xué)的微分方程理論就有很多定理十分優(yōu)美和抽象，當(dāng)年被證明出來大概也

還是出于認識真理的動力；而以前非歐幾何完全是在純數(shù)學(xué)的小圈子里面流通的，

后來也在二十世紀成了描述現(xiàn)實宇宙的重要工具。最有意思的是這么一個故事，在

一九一零年左右，普林斯頓大學(xué)一位數(shù)學(xué)家和一位物理學(xué)家在討論課程表的時候，

物理學(xué)家很有把握地聲稱，他們無疑可以去掉抽象代數(shù)，因為它絕不會對物理有用

的[3]。 結(jié)果是沒出幾十年，不懂群論就已經(jīng)無法進行基礎(chǔ)物理的研究了。在數(shù)學(xué)

的發(fā)展史上，"純粹"往往在多年以后找到"應(yīng)用"，而"應(yīng)用"也常常成為理論
研究的動力，它們二者與其說成是兩個不同的數(shù)學(xué)分支，不如說成是統(tǒng)一的數(shù)學(xué)的

兩個側(cè)面。就象在希臘神話中，雅典娜不僅有俏麗的面容，也有強大的力量。純粹

思辯的數(shù)學(xué)在自然科學(xué)中是極有力的工具，以至于曾經(jīng)說過，一門科學(xué)只有

當(dāng)它能夠成功地運用數(shù)學(xué)的時候，才可以真正算作發(fā)展成熟了。[4]

然而為什么數(shù)學(xué)是如此地有用？這本身卻是一個難以回答的哲學(xué)問題。就象我
在前面兩章里所闡述的，數(shù)學(xué)是為數(shù)很少的幾個公設(shè)在邏輯推理下可以得到的所有

命題的總和。如果把"真理"理解為在現(xiàn)實世界里行得通的某種"法則"，那么正
好和常識相反，數(shù)學(xué)里不包含任何"真理"。在物理，化學(xué)，生物里我們經(jīng)常可以
看到這樣的論斷：A具有性質(zhì)B。驗證它的方法是實驗C。和這種毫不猶豫地求助于
實驗的風(fēng)格不同的是，在勾股定理的命題描述后面，你絕不會看見驗證它的實驗是

什么什么，取代這一步驟的是從歐幾里得幾何的幾條公理出發(fā)，通過清晰的邏輯把

它證明出來。按照羅素等人的解釋，"正三角形的直角邊平方和等于斜邊的平方"
這個給人以"客觀真理"印象的命題是過于簡化了，它應(yīng)該被說成："從歐氏幾何
的公理和實數(shù)的策墨羅-富蘭克爾公理體系出發(fā)，推出勾股定理的邏輯值為真"。
后一種說法其實就和客觀實踐無關(guān)了，如果我們把前提修改一下，后面那個符合實

踐的結(jié)論很可能就不成立。比方說在非歐幾何里，這條定理就行不通。這兩個不同

的結(jié)論可以很好地共存，而且還不象經(jīng)典力學(xué)和相對論那樣是彼此近似的關(guān)系。原

因是單從邏輯的角度上講，只要它們各自的前提不存在內(nèi)部矛盾就是平等的。而前

提是不是正確？是不是我們這個自然世界的性質(zhì)？數(shù)學(xué)家們狡猾地笑笑，說：這就

是物理學(xué)家，化學(xué)家，生物學(xué)家們的事情了。

一個現(xiàn)實問題的數(shù)學(xué)解法之合理性是出自近似性。從應(yīng)用的角度講，我們從來
就不需要絕對的精確，恐怕永遠也達不到它。根號二是個無理數(shù)？那不要緊，反正

我們連有理數(shù)長的尺子也造不出來。exp(x)=x沒有"解析解"？這也不要緊，要緊
的是我們能夠想出一個逼近的方法，有多精確的需要，就能夠通過有限步運算達到

多么精確。

回到幾何和數(shù)學(xué)本身，它們是有限步邏輯的產(chǎn)物，哪怕最接近"現(xiàn)實"的數(shù)學(xué)
也已注定了是這個無限復(fù)雜的世界的某種近似。那么真實世界中任何問題都能夠被

某種數(shù)學(xué)所漸進描述么？學(xué)過一些比較專業(yè)的數(shù)學(xué)就知道，這個問題等價于"全體
數(shù)學(xué)空間"在"全體現(xiàn)實問題空間"里稠密，而這一般來說并不是顯然的。好在我
們的科學(xué)發(fā)展暫時還沒有碰到這些問題，多么復(fù)雜的物理問題最后總是找到相應(yīng)的

數(shù)學(xué)工具，而且在很多時候這件事情還富有戲劇性：物理學(xué)家們有時發(fā)現(xiàn)，他們需

要的工具，很早以前一小群純粹數(shù)學(xué)家們就已經(jīng)準(zhǔn)備好了。這種應(yīng)用在數(shù)學(xué)界的影

響也是巨大的，因為它把某種"沒有用"的純粹數(shù)學(xué)隱含的應(yīng)用性揭示出來，從而
強烈地暗示，任何抽象的數(shù)學(xué)研究終歸會被派上用場，成為應(yīng)用數(shù)學(xué)。這也是非歐

幾何創(chuàng)始人之一的羅巴切夫斯基的信心，而且我們還知道，愛因斯坦沒有讓他失望

。"所有數(shù)學(xué)都是有用的"這個命題大致是前面"所有現(xiàn)實問題都有數(shù)學(xué)模型"的
逆命題。很可惜，就和前面那個命題一樣，這也是難以證明的。困難來自于無限，

希望卻也來自無限。數(shù)學(xué)的發(fā)展與人類對無限的挑戰(zhàn)和超越密不可分。

在上一章里，我已經(jīng)提到所有的數(shù)學(xué)都是研究涉及無限的模式，哪怕最簡單的
自然數(shù)也不例外。現(xiàn)在我們更進一步，看看我們是怎么解決由數(shù)本身所構(gòu)成的無限

命題。第一步我想我們應(yīng)該看看最為簡單的無限：自然數(shù)所產(chǎn)生的無限（這種無限

有個學(xué)名，叫做"可數(shù)無窮大"）。在近代數(shù)學(xué)定義中，這個無限可以通過"給定
一個自然數(shù)n，總存在n+1比它大"這一事實來描述。這些語言本身僅僅涉及有限，
因而是我們可以把握的。由此我們還得到數(shù)學(xué)歸納法，它可以處理含有這種無窮大

的命題，比方說"1+2+……+n=n*(n+1)/2"。步驟是先證明最開始的一個情況是對
的，然后證明第n+1個情況的正確性可以由第n個情況所推出。這就象是在搭梯子，

只要第一下踏中了，而且保證一腳踏實后就可以踏第二腳，那么哪怕這梯子有無限

多級，我們也滿可以登上去。

然而這并不是一個讓人放心的邏輯。事實上它違反了一個"常識"：如果真有
無限級的梯子，就算一個人結(jié)結(jié)實實地踩中了第一腳，并且保證下一腳永不踏空，

他也沒有辦法爬完全部梯子。不過好在我們誰也沒有真正見到過無限級的梯子，真

正的無窮是不為人所見的。世界是那樣的復(fù)雜，我們把它叫做無窮；而人卻是渺小

的，我們只能感知到有限。無限如果不和有限結(jié)合起來，就是對我們毫無用處的無

限。這條想象中的"無限梯"是那樣真實，以至于我們已經(jīng)忘了它其實來自于"非
常長"然而仍然是有限的梯子的經(jīng)驗。我們不必為那條無限梯永遠爬不到頂而煩惱
，我們的勝利來自于每一級被征服的有限，和不斷延續(xù)的過程。過程！是的，無限

不是靜止的體驗，無限來自不停息的過程。每一個被征服的具體的n+1都是有限，
歸納的過程卻意味著我們征服了第一個無限。

談到過程，就要談?wù)剷r間了。和自然數(shù)不同，時間是連續(xù)的。換句話說，在萬
分之一毫秒中我們還可以插入許多億分之一毫秒，而且這一分割還可以繼續(xù)下去，

要多細有多細。在現(xiàn)實生活中，人對"微小"的認識水平是有限制的。所以無限可
分并不是直接的經(jīng)驗，而是和可數(shù)無窮大一樣，是有限經(jīng)驗的一種抽象。這種無限

可分的性質(zhì)不光時間有，空間也是有的，它們合在一起構(gòu)成了我們這個宇宙的框架

。最早對這一框架的數(shù)學(xué)描述是歐氏幾何，通過笛卡爾等人的努力，實數(shù)和這一幾

何通過坐標(biāo)系建立了不可分割的關(guān)系。

幾何的出發(fā)點是抽象的"點"，"直線"等概念，這些概念，在現(xiàn)實生活中是
不存在的。確實，有誰能夠見到一個沒有任何大小的"點"呢？又有哪一條"直線
"不是彎曲的呢？然而今天對于任何一個受過教育的人來講，這些奇怪的人造動物
都是再自然不過的了。我們把力學(xué)問題抽象為幾何，通過數(shù)學(xué)來推導(dǎo)，運算，得到

一個數(shù)字或者圖形，然后再把它的力學(xué)意義解釋出來。而這個結(jié)論總是對的，這可

以從無數(shù)實驗中看出來。可是這種正確，卻是基于在現(xiàn)實生活中誰也沒有見到過的

"點"和"線"的 看 邏輯推理。

解釋它的辦法仍然是用過程的概念：比方說一個"點"或者說一個實數(shù)不是個
固定的概念--無限小的"存在"，而是一個可以不斷逼近（縮小）的過程。一顆
質(zhì)量為3.75公斤的石子在113.14牛頓的推進力下沿直線運行了3.03秒，那么它的軌

跡就有138.50米。這里的任何一個數(shù)字都不是對現(xiàn)實實驗的真實描述，而是近似。

隨著對3.75公斤，113.14牛頓，3.03秒近似水平的提高，軌跡也會越來越接近
138.50米。這個"越來越接近"又是一個涉及無限的過程了，它被有限的邏輯以
F=ma, S=a*t^2/2的形式表達出來。其中第一個式子來源于物理經(jīng)驗，第二個式子
則是微積分的一個結(jié)果。

微積分和它所生成的分析學(xué)是近代數(shù)學(xué)最值得銘記的里程碑，它在數(shù)學(xué)中的重
要性怎么估計都不會過高。可是它竟然在相當(dāng)長的一段時間里不是嚴格意義上的數(shù)

學(xué)--因為它的基礎(chǔ)要到很晚以后才被建立在堅實的邏輯之上。天文學(xué)家開普勒嘗
試著做最早的積分，被叫做"dolichometry"--小桶的量度--即量度由曲面包
圍起來的物體的容積。這是非公理化的，經(jīng)驗的幾何學(xué)，而不是歐幾里得以后的那

種幾何學(xué)[5]。牛頓發(fā)明的"流數(shù)"運算，不僅是為了研究物理提供工具，連陳述
都是物理化的，而這種不精確性，來源就是把無窮小量當(dāng)作靜止的恒量。在牛頓時

代的微積分運算中，我們經(jīng)常可以看到用這個無窮小量做分母（這意味著它不等于

零），而在隨后的乘法中和它相乘的量又都被消去（這時它就是零了），從而得到

結(jié)果。這個矛盾當(dāng)時無法解決，而且它并不是象虛數(shù)那樣完全是形式上的問題，那

種推導(dǎo)方法還有可能會得出象0=1這種荒謬的結(jié)論。以前曾經(jīng)是如此嚴格地合乎道
德的數(shù)學(xué)也犯了原罪；它吃了智慧果，這為它開辟了獲得最大成就但也造成謬誤的

道路[6]。

現(xiàn)在我們高等數(shù)學(xué)/數(shù)學(xué)分析教科書上已經(jīng)找不到這個象幽靈一樣的無窮小量
了，取而代之的是柯西和魏爾斯特拉斯所發(fā)現(xiàn)的極限思想和用來描述它的ε-δ法
則。無窮小量現(xiàn)在被看成某個函數(shù)的極限過程，精確的描述如下：對于任意ε>0.
存在δ>0, 當(dāng)|x-x_0|<δ時 |f(x)-f(x_0)|<ε，記為當(dāng)x→x_0時，f(x)→
f(x_0)。

這里ε和δ都代表了有限，"任意"和"存在"是集合論或者說是邏輯運算的
語言，通過它們把代表無限的無窮小量刻畫出來。看似笨拙的描述中透露的還是那

個思想：如果不能夠從有限出發(fā)刻畫無限，那樣的無限就毫無意義；如果一種計算

不能寫成標(biāo)準(zhǔn)的邏輯語言，它就不能被稱為真正的數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)的力量表現(xiàn)在豐富多

彩的應(yīng)用上，但更是出自它無比的嚴密。在歷史上應(yīng)用很多次走在了嚴密的前面，

就象微積分那樣，但最終數(shù)學(xué)總可以為它們建立嚴格的邏輯，盡管有時不得不付出

直觀性和有效性的代價。后者一個典型的例子就是概率論。古典概率的直觀體系很

早就有了雛形，而且被實踐證明是管用的。然而要到本世紀柯爾莫哥洛夫（
Kolmogorov）突破性的工作后它才談得上有一個嚴格的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這套體系是建立

在測度論上的，而在現(xiàn)有的體系下一定有很多事件是無法定義概率的（不可測），

所以概率的定義域就從來自經(jīng)驗的"全部可能的事件"縮減為一個純粹為滿足數(shù)學(xué)
嚴格性而建筑的δ-algebra之上。這種不自然多多少少削弱了概率論的力量（盡管

幾乎所有我們見過的集合都是可測的），因此直到現(xiàn)在還有人反對它，試圖建立一

套更加完美的理論。

不管新的體系會是什么樣子，有一點是肯定的：它一定是保證了邏輯嚴密性后
的推廣，只有這樣，我們才有充分的信心去運用它。可是邏輯又為什么會適用于我

們這個世界？這是還未得到解決的哲學(xué)問題。抽象的邏輯其實一樣來自于重復(fù)足夠

多次的經(jīng)驗，我們的經(jīng)驗則是視覺，聽覺，觸覺，嗅覺--通過機器可以把它們延
伸，通過思考可以間接地感受它們，然而歸根到底它們還是基于這些感覺。也許
1+1=2不是感覺，可是它也是從一大類我們感知得到的具體事物中抽象出來的規(guī)律
。這個規(guī)律，就我們過去的經(jīng)驗所知是正確的。之所以我們要去（通過研究過去的

經(jīng)驗）追求規(guī)律，是為了把握我們難以把握的未來，如果歷史對未來毫無影響，如

果宇宙隨時間的變化完全不可知，我們還有研究科學(xué)的必要嗎？我們的信心只能建

立在宇宙的規(guī)律性上，這種規(guī)律性也許永遠不能夠為人類所完全認識，但總是在某

個地方"存在"著，全部自然科學(xué)包括數(shù)學(xué)不是創(chuàng)造它，而是發(fā)現(xiàn)它。然而即使全
部的過去都支持某一種規(guī)律，這種規(guī)律就一定會在將來永遠地成立下去嗎？太陽明

天還會升起，這可以通過物理定律來證明，可是物理定律恰恰是從象太陽無數(shù)次有

規(guī)律的升起這樣的大量經(jīng)驗中得出的，這就象是自己證明自己，并沒有產(chǎn)生新的信

息。

到這里我打算停下來，把問題交給搞自然科學(xué)的同仁們。歸跟到底，那些建立
模型解釋模型的任務(wù)不在數(shù)學(xué)家身上。我們所從事的工作就象是下圍棋，給定了規(guī)

則（邏輯）后就演繹出許多推論，在數(shù)學(xué)上的"正確"意味著合乎這種規(guī)則，和現(xiàn)
實生活中的"正確"具有不同（然而非常相關(guān)）的哲學(xué)意義。由此可見，數(shù)學(xué)不是

具體科學(xué)，更不是"客觀真理"的總匯。

*********

[1] 《動物莊院》，George Orwell
[2] 《Applied Mathematics Is Bad Mathematics》，P. Halmos
[3] 《Mathematics in the Physical Science》，F(xiàn). J. Dyson
[4] 《回憶錄》，拉法格著，轉(zhuǎn)引自《數(shù)學(xué)與人類文化》，孫小禮著
[5] 《論數(shù)學(xué)》，馮·諾伊曼
[6] 《反杜林論》，恩格斯

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※ 來源:．鼓浪聽濤 bbs.xmu.edu.cn

【 原文由 cafemate 所發(fā)表 】

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